Resolver as seguintes EDO’s
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=e^{x} \cdot y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=e^{x}\,y^{2}.
Esse tipo de EDO é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em y num lado e os termos em x no outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por y^{2}:
\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=e^{x}
e então reescreva como diferencial:
\frac{dy}{y^{2}}=e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Lembrando que
\int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y} \quad\text{e}\quad \int e^{x}\,dx=e^{x},
temos
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int e^{x}\,dx
-\frac{1}{y}=e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Basta isolar y. Multiplicando por -1 e invertendo, obtemos
\frac{1}{y}=-\,e^{x}-C \;=\;C'-e^{x},
em que definimos C'=-C. Portanto
y(x)=\frac{1}{C'-e^{x}}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=\frac{1}{C-e^{x}},
onde C é constante arbitrária.

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