Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}-5 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-4 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^{(4)}-5\,y''+6\,y'-4\,y = x^2.
O conteúdo envolvido é:
  1. achar a solução geral da homogênea via equação característica;
  2. usar coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para o termo de forçamento x^2.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea:
r^4 - 5\,r^2 + 6\,r - 4 = 0.
Denotando por r_1,r_2,r_3,r_4 as raízes (reais ou complexas) dessa equação, a solução geral da homogênea é
y_c(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x}.

Passo 3

Para a parte não homogênea, usamos método dos coeficientes a determinar. Como o forçamento é x^2, propomos
y_p(x) = A x^2 + B x + C.
Suas derivadas são
y_p' = 2A x + B, \quad y_p'' = 2A, \quad y_p''' = 0, \quad y_p^{(4)} = 0.

Passo 4

Substituindo em
y^{(4)} - 5\,y'' + 6\,y' - 4\,y = x^2
vem
0 - 5(2A) + 6(2A x + B) - 4(A x^2 + B x + C) = -4A x^2 + (12A - 4B)x + (-10A + 6B - 4C).
Igualando coeficientes a x^2 + 0x + 0\) obtemos o sistema \[\begin{cases} -4A = 1,\\\\ 12A - 4B = 0,\\\\ -10A + 6B - 4C = 0. \end{cases}
Da primeira equação (A = -\tfrac14]. Inserindo na segunda
12\bigl(-\tfrac14\bigr) - 4B = 0 \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac34.
Na terceira
-10\bigl(-\tfrac14\bigr) + 6\bigl(-\tfrac34\bigr) - 4C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac12.
Logo
y_p(x) = -\frac14 x^2 \;-\;\frac34 x\;-\;\frac12.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} \;-\;\frac14 x^2 \;-\;\frac34 x\;-\;\frac12,
onde r_1,r_2,r_3,r_4 são as raízes da equação
r^4 - 5\,r^2 + 6\,r - 4 = 0.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} -\frac14 x^2 - \frac34 x - \frac12,}
com r_1,r_2,r_3,r_4 raízes de \,r^4 - 5r^2 + 6r - 4=0.

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