Resolver as seguintes EDO’s
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=2 x y d x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy = 2\,x\,y\,dx,
que é uma EDO de primeira ordem homogênea. Vamos reescrever em forma de dy/dx e usar a substituição clássica y= u\,x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx\,(x^{2}+y^{2}) obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{2\,x\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Como o lado direito é função de y/x, definimos
u = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = u\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituindo na EDO:
u + x\,\frac{du}{dx} = \frac{2\,x\,(u\,x)}{x^{2} + (u\,x)^{2}} = \frac{2\,u\,x^{2}}{x^{2}(1+u^{2})} = \frac{2\,u}{1+u^{2}}.
Isolando du/dx:
x\,\frac{du}{dx} = \frac{2\,u}{1+u^{2}} - u = \frac{u(1 - u^{2})}{1+u^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1+u^{2}}{u(1 - u^{2})}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais, verifica-se
\frac{1+u^{2}}{u(1 - u^{2})} = \frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u} - \frac{1}{1 + u}.
Logo, integrando:
\int\frac{1+u^{2}}{u(1 - u^{2})}\,du = \int\Bigl(\frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u} - \frac{1}{1 + u}\Bigr)\,du = \ln|u| - \ln|1 - u| - \ln|1 + u| + C_{1},
e
\int\frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Igualando e absorvendo constantes, obtemos
\ln\!\Bigl|\frac{u}{(1-u)(1+u)}\Bigr| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{1-u^{2}} = K\,x,
onde K é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a y e x, como u=y/x:
\frac{\frac{y}{x}}{1 - \bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}} = K\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x^{2}-y^{2}} = K \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2} = A\,y,
onde A=1/K é outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da solução geral.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^{2} - y^{2} = C\,y,
com C constante real.

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