Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+4 y^{\prime \prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} + 4y'' + 5y = 0.
O conteúdo que vamos usar é a técnica da equação característica: associamos a cada derivada y^{(k)} um fator r^k e montamos o polinômio
r^4 + 4r^2 + 5 = 0.

Passo 2

Note que esse polinômio é quadrático em r^2. Definindo u = r^2, temos
u^2 + 4u + 5 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara em u,
u = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i.

Passo 3

Voltando a r, obtemos duas possibilidades:
r^2 = -2 + i \quad\text{ou}\quad r^2 = -2 - i.
Precisamos agora extrair as raízes quadradas complexas desses dois números.

Passo 4

Para z = -2 + i, usamos a fórmula
\sqrt{z} = \pm\Bigl(\sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} + i\,\mathrm{sgn}(\Im(z))\sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}}\Bigr),
onde |z|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}. Assim
\sqrt{-2 + i} = \pm\Bigl(\alpha + i\beta\Bigr),
com
\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{2}}, \qquad \beta = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+2}{2}}.

Passo 5

De modo análogo, para -2 - i temos
\sqrt{-2 - i} = \pm\Bigl(\alpha - i\beta\Bigr).
Portanto as quatro raízes do polinômio característico são
r = \pm(\alpha + i\beta), \qquad r = \pm(\alpha - i\beta).

Passo 6

Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral em termos reais fica
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr) +e^{-\alpha x}\bigl(C_3\cos(\beta x)+C_4\sin(\beta x)\bigr),
onde
\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{2}}, \qquad \beta = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+2}{2}},
e C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Resposta

\boxed{% y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr) +e^{-\alpha x}\bigl(C_3\cos(\beta x)+C_4\sin(\beta x)\bigr), }
com
\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{2}}, \quad \beta = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+2}{2}}.

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