Resolver as seguintes EDO’s
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1 + y^2}
Este tipo de equação é separável, ou seja, dá para isolar todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 2

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y^2)\,dx, obtendo
(1 + y^2)\,dy = x\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados: à esquerda em y e à direita em x.
\int (1 + y^2)\,dy = \int x\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral:
\int (1+y^2)\,dy = \int 1\,dy + \int y^2\,dy = y + \frac{y^3}{3},
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Não esquecemos da constante de integração, que chamamos de C.

Passo 5

Reunindo os resultados, a solução geral fica dada implicitamente por
y + \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C.

Resposta

y + \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

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