Resolver as seguintes EDO’s
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(x-y) d y+(x+y) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
(x - y)\,dy + (x + y)\,dx = 0
ou seja, um caso de equação exata do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=x+y, \quad N(x,y)=x-y.
Para resolver, vamos verificar a exatidão e, em seguida, buscar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x+y) =1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x-y) =1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) integrando M(x,y) em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (x+y)\,dx = \frac{x^2}{2} + xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciando \varphi em relação a y e igualando a N(x,y) temos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x + h'(y) \overset{!}{=} x - y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-\frac{y^2}{2}.

Passo 5

Logo a função potencial é
\varphi(x,y) = \frac{x^2}{2} + xy - \frac{y^2}{2},
e a solução geral implícita da equação diferencial é
\varphi(x,y)=C.

Resposta

x^2 + 2xy - y^2 = C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados