Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
((2 x+y) d x+(x+3 y^{2}) d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma diferencial
(2x+y)\,dx + (x+3y^2)\,dy = 0.
O conteúdo aqui é EDOs exatas e, caso não fosse exata, usaríamos fator integrante. Primeiro vamos testar a exatidão.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x + y, \quad N(x,y) = x + 3y^2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (2x+y)\,dx = x^2 + x y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Impondo \Psi_y = N, derivamos em relação a y:
\Psi_y = x + h'(y) = x + 3y^2 \;\Longrightarrow\; h'(y) = 3y^2.
Integrando, obtemos
h(y) = \int 3y^2\,dy = y^3.
Portanto
\Psi(x,y) = x^2 + x y + y^3.

Passo 5

A solução geral da EDO vem de
\Psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 + x y + y^3 = C

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