Resolver as seguintes equações diferenciais.
(1+x2)y3 dx + (1-y2)x3 dy = 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x^2)\,y^3\,dx + (1-y^2)\,x^3\,dy = 0
que é da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Para resolvê-la, vamos testar exatidão e, como não for exata, buscar separação de variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =3\,(1+x^2)\,y^2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3\,(1-y^2)\,x^2.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata. Observamos porém que, dividindo tudo por x^3y^3, podemos separar as variáveis.

Passo 3

Dividindo por x^3y^3, a equação fica
\frac{1+x^2}{x^3}\,dx \;+\;\frac{1-y^2}{y^3}\,dy = 0,
ou seja,
\frac{1+x^2}{x^3}\,dx = -\,\frac{1-y^2}{y^3}\,dy,
que é manifestamente separável em x e y.

Passo 4

Integramos cada lado:
\int \frac{1+x^2}{x^3}\,dx = \int \bigl(x^{-3}+x^{-1}\bigr)\,dx = -\tfrac12\,x^{-2} + \ln|x| + C_1,
\int \frac{1-y^2}{y^3}\,dy = \int \bigl(y^{-3}-y^{-1}\bigr)\,dy = -\tfrac12\,y^{-2} - \ln|y| + C_2.
Igualando e combinando constantes ( C=C_1+C_2), obtemos
-\tfrac12\,x^{-2} + \ln|x| \;+\; \bigl(-\tfrac12\,y^{-2} - \ln|y|\bigr) = C.

Passo 5

Reagrupando os termos, a solução implícita geral é
\ln\!\Bigl|\frac{x}{y}\Bigr| \;-\;\frac{1}{2x^2} \;-\;\frac{1}{2y^2} = C.

Resposta

\displaystyle \ln\!\Bigl|\frac{x}{y}\Bigr| - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{2y^2} = C.

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