Resolver as seguintes equações diferenciais.
sec^2(x)tan(y)dx + sec^2(y)tan(x)dy = 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial \operatorname{sec}^2(x)\tan(y)\,dx + \operatorname{sec}^2(y)\tan(x)\,dy = 0
e pede uma solução implícita \varphi(x,y)=C. Aqui vamos tratar como uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 e verificar se é exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=\operatorname{sec}^2(x)\tan(y), \quad N(x,y)=\operatorname{sec}^2(y)\tan(x).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\operatorname{sec}^2(x)\,\operatorname{sec}^2(y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\operatorname{sec}^2(y)\,\operatorname{sec}^2(x).
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \operatorname{sec}^2(x)\tan(y)\,dx =\tan(y)\,\int \operatorname{sec}^2(x)\,dx =\tan(y)\tan(x)+h(y).

Passo 4

Agora exigimos \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y).
Calculando \phi_y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\tan(x)\,\operatorname{sec}^2(y)+h'(y)
e comparando com N(x,y)=\operatorname{sec}^2(y)\tan(x) obtemos
\tan(x)\,\operatorname{sec}^2(y)+h'(y) =\tan(x)\,\operatorname{sec}^2(y) \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante.

Passo 5

Assim a função potencial é
\varphi(x,y)=\tan(x)\,\tan(y)+\text{const},
e a solução geral implícita fica

Resposta

\tan(x)\,\tan(y)=C,
com C constante arbitrária.

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