Resolver as seguintes equações diferenciais.
(2+y) dx - (3-x) dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(2+y)\,dx - (3-x)\,dy = 0
Este é um caso de equação de primeira ordem que podemos reconhecer como separável: vamos isolar as variáveis x e y.

Passo 2

Reorganizamos a equação para obter
(2+y)\,dx = (3-x)\,dy.
Em seguida dividimos ambos os lados por (2+y)(3-x), ficando
\frac{dx}{3-x} = \frac{dy}{2+y}.

Passo 3

Integramos cada membro:
\int \frac{dx}{3-x} = \int \frac{dy}{2+y}.
No lado esquerdo surge
\int \frac{dx}{3-x} = -\ln\bigl|3-x\bigr|
e no lado direito
\int \frac{dy}{2+y} = \ln\bigl|2+y\bigr|.
Logo
-\ln\bigl|3-x\bigr| = \ln\bigl|2+y\bigr| + C_1.

Passo 4

Reescrevendo e exponenciando, obtemos
\ln\bigl|(2+y)(3-x)\bigr| = C_2 \quad\Longrightarrow\quad (2+y)(3-x) = C,
onde C é uma constante arbitrária que agrupa e^{C_2}.

Resposta

(2+y)(3-x) = C.

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