Resolver as seguintes equações diferenciais.
xy dx - (1+x^2) dy = 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y\,dx - (1+x^2)\,dy = 0
que é de primeira ordem e do tipo separável. Para resolver, vamos escrever na forma \tfrac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) e então separar as variáveis.

Passo 2

Reescrevendo em termos de \tfrac{dy}{dx}, temos
x\,y\,dx = (1+x^2)\,dy
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\frac{dy}{dx} = \frac{x\,y}{1+x^2}.
Agora separamos y de um lado e x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{x}{1+x^2}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo obtemos
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert.
No lado direito, basta usar a substituição u=1+x^2, du=2x\,dx, então
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^2\bigr).
Somando a constante de integração C, ficamos com
\ln\lvert y\rvert = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^2\bigr) + C.

Passo 5

Exponenciando os dois lados,
\lvert y\rvert = e^C\,(1+x^2)^{1/2}.
Chamando K = \pm e^C (constante arbitrária real), obtemos a solução geral
y = K\sqrt{1+x^2}.

Resposta

y = C\sqrt{1+x^2},
onde C é constante de integração.

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