Resolver as seguintes equações diferenciais.
(x-1)dy - ydx = 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x-1)\,dy - y\,dx = 0
e pede a sua solução geral. O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação separável, ou seja, podemos pôr as variáveis y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial, temos
(x-1)\,dy = y\,dx.
Agora dividimos ambos os lados por y(x-1) para separar as variáveis:
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x-1}.

Passo 3

Integramos cada lado da igualdade:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x-1}.
Pelas fórmulas de integração, obtemos
\ln\bigl|y\bigr| = \ln\bigl|x-1\bigr| + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
\bigl|y\bigr| = e^{C_1}\,\bigl|x-1\bigr|.
Definindo C = \pm e^{C_1} como constante arbitrária, chegamos à solução geral
y = C\,(x-1).

Resposta

y = C\,(x-1)

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