Resolver as seguintes equações diferenciais.
4xy^2 dx + (x^2 + 1) dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4x y^{2}\,dx + (x^{2}+1)\,dy = 0.
Isso envolve o conceito de equação exata: se tivermos uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, ela é exata quando \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Se não for exata, buscamos um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) que torne a forma exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 4x y^{2}, \quad N(x,y) = x^{2}+1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 8x y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x,
logo não é exata. Verificamos se existe fator integrante \mu só em função de y usando
\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2x - 8x y}{4x y^{2}} = \frac{1-4y}{2y^{2}},
que depende apenas de y. Então \mu=\mu(y).

Passo 3

O fator integrante satisfaz
\frac{d\mu}{dy}\Big/\mu = \frac{1 - 4y}{2y^{2}}.
Integramos:
\int \frac{1 - 4y}{2y^{2}}\,dy = \int\Bigl(\frac{1}{2}y^{-2} - 2y^{-1}\Bigr)\,dy = -\frac{1}{2y} - 2\ln\lvert y\rvert + C.
Logo
\mu(y) = e^{-\frac{1}{2y}}\,y^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y), obtendo
M^{*}(x,y)\,dx + N^{*}(x,y)\,dy = 0
com
M^{*} = 4x y^{2}\,\bigl(y^{-2} e^{-\tfrac{1}{2y}}\bigr) = 4x\,e^{-\tfrac{1}{2y}},
N^{*} = (x^{2}+1)\,\bigl(y^{-2} e^{-\tfrac{1}{2y}}\bigr).
Agora tem-se forma exata porque \partial M^{*}/\partial y = \partial N^{*}/\partial x.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M^{*} \quad\Longrightarrow\quad \Psi(x,y) = \int 4x\,e^{-\tfrac{1}{2y}}\,dx = 2x^{2}e^{-\tfrac{1}{2y}} + h(y).
Para encontrar h(y), usamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{x^{2}}{y^{2}}\,e^{-\tfrac{1}{2y}} + h'(y) \stackrel{!}{=} N^{*} = \frac{x^{2}+1}{y^{2}}\,e^{-\tfrac{1}{2y}}.
Isto dá
h'(y) = \frac{1}{y^{2}}\,e^{-\tfrac{1}{2y}},
e
h(y) = \int y^{-2} e^{-\tfrac{1}{2y}}\,dy.
Fazendo t = \tfrac{1}{2y}, dt=-\tfrac{1}{2y^{2}}\,dy leva a
h(y) = 2\,e^{-\tfrac{1}{2y}} + \text{const}.

Passo 6

Portanto
\Psi(x,y) = 2x^{2}e^{-\tfrac{1}{2y}} + 2e^{-\tfrac{1}{2y}} = 2\,(x^{2}+1)\,e^{-\tfrac{1}{2y}},
e a solução implícita geral é
\Psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+1)\,e^{-\tfrac{1}{2y}} = C',
com C' constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
(x^{2}+1)\,e^{-\tfrac{1}{2y}} = C,
onde C é constante de integração.

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