Resolver as seguintes equações diferenciais.
4xy^2 dx + (x^2 + 1) dy = 0
4xy^2 dx + (x^2 + 1) dy = 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Isso envolve o conceito de equação exata: se tivermos uma forma
, ela é exata quando
. Se não for exata, buscamos um fator integrante
ou
que torne a forma exata.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo não é exata. Verificamos se existe fator integrante
só em função de
usando
que depende apenas de
. Então
.
Passo 3
O fator integrante satisfaz
Integramos:
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora tem-se forma exata porque
.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Para encontrar
, usamos
Isto dá
e
Fazendo
,
leva a
Passo 6
Portanto
e a solução implícita geral é
com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é constante de integração.