Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
d)
.
d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
que podemos reescrever como
O método clássico é usar a mudança de variável
pois aí a equação vira um ODE com coeficientes constantes em
.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
em função de
:
Substituindo em
obtemos
obtemos
Passo 3
Resolvemos primeiro o homogêneo
A equação característica é
Logo
Voltando a
, como
, temos
Passo 4
Agora buscamos uma particular de
por coeficientes indeterminados. Como o lado direito é polinomial de grau 2, tomamos
Então
e
Igualando a
dá o sistema
cuja solução é
Passo 5
Com isso
e voltando a
(lembre
),
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.