Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
d) x^2 y^prime prime-x y^prime+2 y-1+(ln x)^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-x y'+2y-1+(ln x)^2=0,
que podemos reescrever como
x^2y''-x y'+2y = 1 - (ln x)^2
O método clássico é usar a mudança de variável
t = ln x, y(x)=u(t),
pois aí a equação vira um ODE com coeficientes constantes em t.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y em função de u(t):
y' = dudtdtdx = u'x, y'' = ddxl(u'xr) = u''-u'x^2
Substituindo em
;x^2y''-x y'+2y = 1 - t^2,
obtemos
u'' -2u' +2u = 1 - t^2

Passo 3

Resolvemos primeiro o homogêneo
u'' -2u' +2u = 0
A equação característica é
r^2 -2r +2=0 ;Longrightarrow; r = 1pm i
Logo
uh(t) = e^tl(Acos t + Bsin tr)
Voltando a y, como x=e^t, temos
yh(x) = uh(ln x) = xl(Acos(ln x)+Bsin(ln x)r)

Passo 4

Agora buscamos uma particular de
u'' -2u' +2u = 1 - t^2
por coeficientes indeterminados. Como o lado direito é polinomial de grau 2, tomamos
up(t) = a,t^2+b,t+c
Então
up' = 2a,t + b, up'' = 2a,
e
up'' -2up'+2up =2a -2(2a,t+b)+2(a,t^2+b,t+c) =2a,t^2+(-4a+2b)t+(2a-2b+2c)
Igualando a 1 - t^2 = -t^2+0,t+1 dá o sistema
2a=-1, -4a+2b=0, 2a-2b+2c=1,
cuja solução é
a=-tfrac12, b=-1, c=0

Passo 5

Com isso
up(t) = -tfrac12,t^2-t,
e voltando a y (lembre ,t=ln x),
yp(x) = up(ln x) = -tfrac12(ln x)^2 - (ln x)

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = xl(Acos(ln x)+Bsin(ln x)r) -tfrac12(ln x)^2 - (ln x),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Resposta

boxed y(x) = xl(C1cos(ln x)+C2sin(ln x)r) -tfrac12(ln x)^2 - (ln x)

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