Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
a) (2 x+1)^2 y^prime prime-2(2 x+1) y^prime-12 y=6 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Euler-Cauchy que é dada por:
(2 x+1)^2 y'' - 2(2 x+1) y' - 12 y = 6 x
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de $ x $. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a equação, transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar os coeficientes. Vamos definir uma nova variável:
t = 2x + 1
Isso nos ajuda a reescrever a equação em termos de $ t $ ao invés de $ x $.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas de $ y $ em relação a $ t $. Usando a regra da cadeia:
y
e
t

Passo 4

Substituindo $ x $ por $ t $ e as derivadas na equação original, temos:
x
Simplificando os termos:
t

Passo 5

Dividindo toda a equação por 4 para simplificar:
t^2 d^2 ydt^2 - t dydt - 3 y = 34(t - 1)
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Euler-Cauchy:
t^2 y'' + a t y' + b y = f(t),
onde $ a = -1 $, $ b = -3 $ e $ f(t) = \frac{3}{4}(t - 1) $.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
t^2 y'' - t y' - 3 y = 0
Assumimos uma solução da forma $ y = t^m $. Calculando as derivadas:
y = t^m
y' = m t^m-1,
Substituindo na equação homogênea:
y'' = m(m-1) t^m-2
que simplifica para:
t^2 [m(m-1) t^m-2] - t [m t^m-1] - 3 t^m = 0,
dividindo por $ t^m $:
m(m-1) t^m - m t^m - 3 t^m = 0,
t^m
m(m-1) - m - 3 = 0,

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática $ m^2 - 2m - 3 = 0 $:
m^2 - 2m - 3 = 0
Então, as raízes são:
m = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
m1 = 3,
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
m2 = -1

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
yp
Como o lado direito é uma combinação linear de $ t $ e $ 1 $, assumimos uma solução particular da forma:
t^2 y'' - t y' - 3 y = 34(t - 1)

Passo 9

Calculando as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = A,
Substituindo na equação:
yp'' = 0
simplificando:
t^2 cdot 0 - t cdot A - 3(A t + B) = 34(t - 1),
-A t - 3 A t - 3 B = 34 t - 34,

Passo 10

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
t
Para os termos constantes:
-4 A = 34 Rightarrow A = -316
Portanto, a solução particular é:
-3 B = -34 Rightarrow B = 14

Passo 11

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 t^3 + C2 t^-1 - 316 t + 14
Lembrando que $ t = 2x + 1 $, substituímos de volta:
t = 2x + 1

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1 (2x + 1)^3 + C2 (2x + 1)^-1 - 316 (2x + 1) + 14,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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