Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
a)
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Euler-Cauchy que é dada por:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de $ x $. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a equação, transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar os coeficientes. Vamos definir uma nova variável:
Isso nos ajuda a reescrever a equação em termos de $ t $ ao invés de $ x $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas de $ y $ em relação a $ t $. Usando a regra da cadeia:
e
Passo 4
Substituindo $ x $ por $ t $ e as derivadas na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Dividindo toda a equação por 4 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Euler-Cauchy:
onde $ a = -1 $, $ b = -3 $ e $ f(t) = \frac{3}{4}(t - 1) $.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma $ y = t^m $. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
que simplifica para:
dividindo por $ t^m $:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática $ m^2 - 2m - 3 = 0 $:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
Como o lado direito é uma combinação linear de $ t $ e $ 1 $, assumimos uma solução particular da forma:
Passo 9
Calculando as derivadas de $ y_p $:
Substituindo na equação:
simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Lembrando que $ t = 2x + 1 $, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.