Resolver as seguintes equações e inequações:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo produto de dois polinômios de segundo grau: determinar todos os valores de x tais que
(x^2-2x+1)(x^2+5x+6)>= 0
Conteúdo: fatoração de quadráticos e análise de sinal de produto.

Passo 2

Primeiro fatoramos cada quadrático. Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2
e
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Passo 3

Os pontos onde o produto pode mudar de sinal ou ser zero são as raízes de cada fator:
• De (x-1)^2=0 vem x=1 (multiplicidade 2).
• De x+2=0 vem x=-2.
• De x+3=0 vem x=-3.
Esses valores tornam o produto zero.

Passo 4

Para ver onde o produto é positivo ou negativo, percebemos que (x-1)^2 é sempre não negativo e só zera em x=1. Logo o sinal do produto é dado pelo sinal de (x+2)(x+3). Analisando:
• Para x<-3: x+2<0 e x+3<0, logo ((x+2)(x+3)>0.
• Para -3: um fator é negativo e o outro positivo, logo produto negativo.
• Para x>-2: ambos positivos, logo produto positivo.

Passo 5

Como queremos (x^2-2x+1)(x^2+5x+6)>= 0, incluímos as regiões onde o produto é positivo e também os pontos onde zera ( x=-3,-2,1). O intervalo de solução é
(-infty,-3]cup[-2,infty)

Resposta



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