Resolver as seguintes equações irracionais
raiz1+4 x=3+raizx-2

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação irracional raiz1+4x=3+raizx-2. O conteúdo é equações irracionais e vamos precisar impor domínio, isolar radicais e elevar ao quadrado para eliminar as raízes.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio. Para raiz1+4x temos 1+4x>=0 e para raizx-2 temos x-2>=0. Daí
1+4x>=0implies x>= -tfrac14, x-2>=0implies x>=2
Como ambas devem valer, ficamos com x>=2.

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Como o membro da direita é não negativo no domínio, obtemos:
1+4x = l(3+raizx-2r)^2 = 9 +6raizx-2+ (x-2)
Simplificando essa igualdade:
1+4x = x+7 +6raizx-2 implies 3x-6 =6raizx-2

Passo 4

Isolamos o radical e dividimos por 3:
x-2 =2raizx-2

Passo 5

Para resolver isso, fazemos a substituição t=raizx-2 com t>=0. Então x-2=t^2 e a equação vira
t^2 =2t implies t(t-2)=0

Passo 6

As soluções são t=0 ou t=2. Voltando a x:
  • Se t=0, então raizx-2=0 x=2.
  • Se t=2, então raizx-2=2 x-2=4 e x=6.

Passo 7

Por fim, verificamos na equação original: para x=2 e x=6 ambas as igualdades conferem. Portanto, as soluções são válidas.

Resposta

x = 2 ou x = 6

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