Resolver as seguintes equações:
\left|\frac{x+8}{x+4}\right|=3.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação modular
\left|\frac{x+8}{x+4}\right|=3.
O conteúdo envolvido é equação com valor absoluto. Para isso usaremos a propriedade
\lvert A\rvert = B\quad\Longleftrightarrow\quad A = B\;\text{ou}\;A = -B,
válida para B\ge0. Também devemos observar o domínio, pois o denominador exige x\neq -4.

Passo 2

Aplicamos a definição do valor absoluto ao termo \displaystyle A=\frac{x+8}{x+4}
e B=3. Logo surgem dois casos:
Caso 1:
\frac{x+8}{x+4}=3,
Caso 2:
\frac{x+8}{x+4}=-3.

Passo 3

Resolvendo o Caso 1, multiplicamos ambos os lados por (x+4):
x+8 = 3(x+4).
Desenvolvendo e isolando x:
x + 8 = 3x + 12 \quad\Longrightarrow\quad 8 - 12 = 3x - x \quad\Longrightarrow\quad -4 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Como -2 \neq -4, a solução x=-2 é válida neste caso.

Passo 4

Resolvendo o Caso 2, novamente multiplicamos por (x+4):
x+8 = -3(x+4).
Desenvolvendo e isolando x:
x + 8 = -3x - 12 \quad\Longrightarrow\quad x + 3x = -12 - 8 \quad\Longrightarrow\quad 4x = -20 \quad\Longrightarrow\quad x = -5.
Como -5 \neq -4, a solução x=-5 também é válida.

Passo 5

Verificamos que ambas soluções satisfazem o domínio x\neq -4 e, substituindo na equação original, confirmam
\left|\frac{x+8}{x+4}\right|=3.

Resposta

As soluções da equação são
x = -2 \quad\text{ou}\quad x = -5.

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