Resolver as seguintes equaçōes
(4 pontos) y^{\prime}=2 t\left(\sqrt{25-y^{2}}\right), y \neq \pm 5$.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2,t;raiz25 - y^2,
sabendo que yneq pm5. O conteúdo aqui é equação separável, e vamos usar a técnica de separação de variáveis seguida de integração de cada lado.

Passo 2

Escrevemos y'=dfracdydt e separamos as variáveis y e t:
dyraiz25 - y^2 =2,t,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dyraiz25 - y^2 =integral 2,t,dt
Pelo fato de integral duraiza^2 - u^2=arcsin!l(u/ar), o lado esquerdo vira
arcsin!l(y/5r),
e o direito é
t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados temos
arcsin!l(y/5r)=t^2 + C
Aplicando o seno em cada lado:
y/5 = sinl(t^2 + Cr),
logo
y(t) = 5,sinl(t^2 + Cr)

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = 5,sinl(t^2 + Cr),
com CinR.

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