Resolver os seguintes exercícios a mão livre:
Para que a equação
\operatorname{sen}(x)=y^{2}-y-1
tenha solução, y deve pertencer a:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de y tais que a equação
\sin(x)=y^{2}-y-1
admita solução real em x. O conteúdo envolvido é o fato de que o valor de \sin(x) está sempre entre -1 e 1. Logo, precisamos impor
-1 \le y^{2}-y-1 \le 1.

Passo 2

Resolvendo a desigualdade inferior
y^{2}-y-1 \ge -1
somamos 1 em ambos os lados, obtendo
y^{2}-y \ge 0.
Fatorando,
y(y-1)\ge 0
cuja solução é
y\in(-\infty,0]\cup[1,\infty).

Passo 3

Resolvendo a desigualdade superior
y^{2}-y-1 \le 1
subtraímos 1 de ambos os lados, ficando
y^{2}-y-2 \le 0.
Fatorando,
(y-2)(y+1)\le 0
cuja solução é
y\in[-1,2].

Passo 4

Para que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente, fazemos a interseção
\bigl((-\infty,0]\cup[1,\infty)\bigr)\;\cap\;[-1,2] \;=\;[-1,0]\;\cup\;[1,2].

Resposta

y\in[-1,0]\cup[1,2]

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