Resolver os seguintes exercícios a mão livre:
Todos os valores de x, de modo que a expressão
\cos (x)=\frac{2 x-1}{3}
tenha solução

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de x tais que a equação
\cos(x)=\frac{2x-1}{3}
tenha solução. Como sabemos que \cos(x) varia em [-1,1], basta exigir que o termo à direita também pertença a esse intervalo.

Passo 2

Impondo a condição de existência:
-1 \le \frac{2x-1}{3} \le 1.

Passo 3

Resolver a desigualdade à esquerda:
-1 \le \frac{2x-1}{3}
Multiplicando por 3>0:
-3 \le 2x - 1
Adicionando 1 a ambos os lados:
-2 \le 2x
Dividindo por 2>0:
-1 \le x
ou seja, x \ge -1.

Passo 4

Resolver a desigualdade à direita:
\frac{2x-1}{3} \le 1
Multiplicando por 3>0:
2x - 1 \le 3
Adicionando 1:
2x \le 4
Dividindo por 2>0:
x \le 2.

Passo 5

Combinando x \ge -1 e x \le 2, obtemos
-1 \le x \le 2.

Resposta

x \in [-1,2]

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