Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Dados importantes: o integrando é
e o intervalo de integração é
. A integral é imprópria porque o limite superior é infinito. O objetivo é avaliar o valor numérico da integral e justificar a convergência.
Passo 2
Por que essa integral é “imprópria” e o que precisamos verificar?
Uma integral com limite infinito, como , é definida por limite:
Uma integral com limite infinito, como
desde que esse limite exista (seja finito). Então precisaremos transformar a integral e calcular esse limite; se for finito, dizemos que a integral converge e podemos dar seu valor.
Passo 3
Observação prática para resolver: a presença de
no expoente sugere uma substituição que simplifique essa expressão. Uma substituição clássica é fazer a variável igual à raiz, isto é tomar
. Vou explicar a substituição com calma.
Passo 4
Fazendo a substituição
. Então
. Derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
Também transformamos os limites: quando
temos
; quando
temos
. Portanto a integral vira (substituindo
e
):
Passo 5
Simplifico constants:
Agora restou calcular
. Vou mostrar duas maneiras convencionais: por partes (direto) ou reconhecendo a função Gamma. Vou usar integração por partes, que é mais elementar e fácil de aplicar na prova.
Passo 6
Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
suficientemente suaves,
Aqui escolhemos
(porque sua derivada é simples) e
(porque sua primitiva é simples). Então:
Passo 7
Aplicando a fórmula no integral imprópria (com os limites
a
):
Agora calculamos cada termo com cuidado. Primeiro o termo de fronteira
. Note que
porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio; formalmente podemos usar Regra de L’Hôpital em
. Assim
.
Passo 8
O segundo termo é a integral simples da exponencial:
Portanto
Passo 9
Voltando ao passo onde tínhamos o fator 2:
Além disso, pelo cálculo acima a integral convergiu (o limite existe e é finito).