Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy.
Dados importantes: o integrando é e^{-\sqrt{y}} e o intervalo de integração é [0,\infty). A integral é imprópria porque o limite superior é infinito. O objetivo é avaliar o valor numérico da integral e justificar a convergência.

Passo 2

Por que essa integral é “imprópria” e o que precisamos verificar?
Uma integral com limite infinito, como \int_{0}^{\infty} f(y)\,dy, é definida por limite:
\int_{0}^{\infty} f(y)\,dy = \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} f(y)\,dy,
desde que esse limite exista (seja finito). Então precisaremos transformar a integral e calcular esse limite; se for finito, dizemos que a integral converge e podemos dar seu valor.

Passo 3

Observação prática para resolver: a presença de \sqrt{y} no expoente sugere uma substituição que simplifique essa expressão. Uma substituição clássica é fazer a variável igual à raiz, isto é tomar t=\sqrt{y}. Vou explicar a substituição com calma.

Passo 4

Fazendo a substituição \,t=\sqrt{y}\,. Então y=t^{2}. Derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
dy = 2t\,dt.
Também transformamos os limites: quando y=0 temos t=0; quando y\to\infty temos t\to\infty. Portanto a integral vira (substituindo y=t^{2} e dy=2t\,dt):
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cdot 2t\,dt.

Passo 5

Simplifico constants:
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = 2\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt.
Agora restou calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt. Vou mostrar duas maneiras convencionais: por partes (direto) ou reconhecendo a função Gamma. Vou usar integração por partes, que é mais elementar e fácil de aplicar na prova.

Passo 6

Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(t) e v(t) suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos u=t (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-t}dt (porque sua primitiva é simples). Então:
u=t,\quad dv=e^{-t}dt,\quad du=dt,\quad v=-e^{-t}.

Passo 7

Aplicando a fórmula no integral imprópria (com os limites 0 a \infty):
\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt = \left[ -t e^{-t} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt.
Agora calculamos cada termo com cuidado. Primeiro o termo de fronteira \lim_{T\to\infty}(-T e^{-T}). Note que
\lim_{T\to\infty} T e^{-T} = 0,
porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio; formalmente podemos usar Regra de L’Hôpital em \lim_{T\to\infty} \dfrac{T}{e^{T}} = 0. Assim \left[ -t e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = 0 - (0\cdot e^{0}) = 0.

Passo 8

O segundo termo é a integral simples da exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1.
Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt = 0 + 1 = 1.

Passo 9

Voltando ao passo onde tínhamos o fator 2:
\int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt{y}}\,dy = 2\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt = 2\cdot 1 = 2.
Além disso, pelo cálculo acima a integral convergiu (o limite existe e é finito).

Resposta

2

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