Resolver as seguintes integrais impróprias: \int_{-\infty}^{\infty} \cos 2 t d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, dt.
Informações dadas (ou evidentes do enunciado):
A função integrando é \cos 2t.
Os limites de integração são -\infty e \infty, ou seja, é uma integral imprópria no eixo real inteiro.
Precisamos decidir se a integral converge (tem valor finito) ou diverge.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática usada em provas para integrais no intervalo (-\infty,\infty). Escolhemos um ponto de corte qualquer, por exemplo 0, e escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias:
também não existe, porque \sin 2a oscila quando a\to-\infty.
Passo 6
Como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais não existem, concluímos, pela definição de integral imprópria sobre (-\infty,\infty), que
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, dt
não converge — ou seja, diverge.
Passo 7
É útil comentar duas variações que às vezes aparecem em provas, para não se confundir:
Valor principal de Cauchy (principal value): se considerarmos a integral simétrica
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\cos 2t\,dt
então, usando a primitiva, obtemos
\int_{-A}^{A}\cos 2t\,dt = \sin 2A.
O limite \lim_{A\to\infty}\sin 2A também não existe (oscila), logo o valor principal simétrico também não existe aqui.
Regularização por amortecimento: se multiplicarmos por e^{-\varepsilon|t|} e depois fizermos \varepsilon\to 0^+, temos uma integral que tende a 0. Isso é uma técnica de teoria de distribuições/transformada de Fourier, mas não altera o fato de que a integral imprópria usual não converge. Em provas de cálculo elementar, essa regularização não conta como convergência da integral original.
Passo 8
Resumo e conclusão: nem as integrais laterais nem o valor principal simétrico têm limite finito, portanto a integral imprópria original diverge.