Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, dt.
Informações dadas (ou evidentes do enunciado):
  • A função integrando é \cos 2t.
  • Os limites de integração são -\infty e \infty, ou seja, é uma integral imprópria no eixo real inteiro.
  • Precisamos decidir se a integral converge (tem valor finito) ou diverge.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática usada em provas para integrais no intervalo (-\infty,\infty). Escolhemos um ponto de corte qualquer, por exemplo 0, e escrevemos a integral como soma de duas integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, dt = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\cos 2t\,dt + \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\cos 2t\,dt,
desde que ambos os limites existam finitamente. Se qualquer um desses limites não existir, a integral imprópria não converge (diverge).

Passo 3

Calculo a primitiva de \cos 2t. Para integrar \cos 2t usamos a regra básica \int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t)+C. Assim,
\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\sin 2t + C.

Passo 4

Avalio a integral de 0 até b usando a primitiva:
\int_{0}^{b}\cos 2t\,dt = \left.\frac{1}{2}\sin 2t\right|_{0}^{b} = \frac{1}{2}\sin 2b - \frac{1}{2}\sin 0 = \frac{1}{2}\sin 2b.
Agora tomo o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\sin 2b.
Mas a função \sin 2b oscila entre -1 e 1 quando b\to\infty; esse limite não existe. Portanto
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\cos 2t\,dt
não existe.

Passo 5

Da mesma forma, avalio a integral de a até 0:
\int_{a}^{0}\cos 2t\,dt = \left.\frac{1}{2}\sin 2t\right|_{a}^{0} = \frac{1}{2}\sin 0 - \frac{1}{2}\sin 2a = -\frac{1}{2}\sin 2a.
Tomando a\to -\infty,
\lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{1}{2}\sin 2a\right)
também não existe, porque \sin 2a oscila quando a\to-\infty.

Passo 6

Como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais não existem, concluímos, pela definição de integral imprópria sobre (-\infty,\infty), que
\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2t \, dt
não converge — ou seja, diverge.

Passo 7

É útil comentar duas variações que às vezes aparecem em provas, para não se confundir:
  • Valor principal de Cauchy (principal value): se considerarmos a integral simétrica
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\cos 2t\,dt
então, usando a primitiva, obtemos
\int_{-A}^{A}\cos 2t\,dt = \sin 2A.
O limite \lim_{A\to\infty}\sin 2A também não existe (oscila), logo o valor principal simétrico também não existe aqui.
  • Regularização por amortecimento: se multiplicarmos por e^{-\varepsilon|t|} e depois fizermos \varepsilon\to 0^+, temos uma integral que tende a 0. Isso é uma técnica de teoria de distribuições/transformada de Fourier, mas não altera o fato de que a integral imprópria usual não converge. Em provas de cálculo elementar, essa regularização não conta como convergência da integral original.

Passo 8

Resumo e conclusão: nem as integrais laterais nem o valor principal simétrico têm limite finito, portanto a integral imprópria original diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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