Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen} \theta e^{\cos ^{\theta}} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}\theta\, e^{\cos^{\theta}}\,d\theta.
Aqui há uma ambiguidade na escrita de e^{\cos^{\theta}}: pode ser interpretado como e^{(\cos\theta)} (caso mais comum em exercícios) ou como e^{(\cos)^{\theta}} (o que não faz muito sentido usualmente). Vou assumir que a intenção é
\int_{0}^{\infty} \sin\theta\, e^{\cos\theta}\,d\theta,
ou seja, o expoente é \cos\theta. O que se pede é saber se essa integral imprópria converge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) da função integranda, porque essa é uma forma direta de avaliar integrais próprias e, quando possível, investigar a convergência de integrais impróprias pela avaliação do limite da primitiva.
Considere a substituição formal usada para derivadas compostas: se u=\cos\theta então du=-\sin\theta\,d\theta. Isso é a regra da cadeia invertida; aqui estamos apenas reconhecendo que a derivada de \cos\theta é -\sin\theta.
Usando isso, observe que a derivada de e^{\cos\theta} em relação a \theta é
\frac{d}{d\theta} e^{\cos\theta} = e^{\cos\theta}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta) = e^{\cos\theta}\cdot(-\sin\theta).
Logo,
\sin\theta\, e^{\cos\theta} = -\frac{d}{d\theta}\bigl(e^{\cos\theta}\bigr).
Portanto uma primitiva da nossa função é
\int \sin\theta\, e^{\cos\theta}\,d\theta = -e^{\cos\theta} + C.

Passo 3

Agora use a primitiva para escrever a integral definida até um limite finito B>0:
\int_{0}^{B} \sin\theta\, e^{\cos\theta}\,d\theta = \bigl[-e^{\cos\theta}\bigr]_{0}^{B} = -e^{\cos B} -\bigl(-e^{\cos 0}\bigr) = e - e^{\cos B},
pois \cos 0 = 1 e e^{\cos 0}=e.

Passo 4

Para a integral imprópria \int_{0}^{\infty} devemos analisar o limite quando B\to\infty da expressão obtida:
\int_{0}^{\infty} \sin\theta\, e^{\cos\theta}\,d\theta = \lim_{B\to\infty} \bigl(e - e^{\cos B}\bigr).
Mas \cos B não tem limite quando B\to\infty: ele oscila entre -1 e 1. Em particular existem sequências B_n\to\infty com \cos B_n=1 (por exemplo B_n=2\pi n) e outras com \cos B_n=-1 (por exemplo B_n=\pi+2\pi n). Portanto e^{\cos B} oscila entre e^{-1} e e^{1}, e não tem limite quando B\to\infty.
Consequentemente \lim_{B\to\infty}\bigl(e - e^{\cos B}\bigr) também não existe (os valores limite ao longo de diferentes sequências dão e-e=0 e e-e^{-1}, por exemplo). Logo a integral imprópria não converge no sentido usual (o limite da integral definida até B não existe).

Passo 5

Para reforçar: a integral não converge nem absolutamente. De fato, como e^{\cos\theta} é limitada entre e^{-1} e e, temos
e^{-1}|\sin\theta|\le |\,\sin\theta\, e^{\cos\theta}| \le e\,|\sin\theta|.
Sabemos que
\int_{0}^{\infty} |\sin\theta|\,d\theta = \sum_{k=0}^{\infty}\int_{2\pi k}^{2\pi(k+1)} |\sin\theta|\,d\theta
e cada integral sobre um período é positiva (por exemplo \int_{0}^{2\pi} |\sin\theta|\,d\theta=4), portanto a soma diverge para +\infty. Assim \int_{0}^{\infty} |\sin\theta\, e^{\cos\theta}|\,d\theta diverge, o que mostra ausência de convergência absoluta.
Também não há convergência condicional aqui pelo fato de que a primitiva dá uma expressão que não tem limite quando a cota superior tende a infinito (como mostrado no Passo 4).

Resposta

A integral diverge (não converge).

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