Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Aqui há uma ambiguidade na escrita de
: pode ser interpretado como
(caso mais comum em exercícios) ou como
(o que não faz muito sentido usualmente). Vou assumir que a intenção é
ou seja, o expoente é
. O que se pede é saber se essa integral imprópria converge e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) da função integranda, porque essa é uma forma direta de avaliar integrais próprias e, quando possível, investigar a convergência de integrais impróprias pela avaliação do limite da primitiva.
Considere a substituição formal usada para derivadas compostas: se
então
. Isso é a regra da cadeia invertida; aqui estamos apenas reconhecendo que a derivada de
é
.
Usando isso, observe que a derivada de
em relação a
é
Logo,
Portanto uma primitiva da nossa função é
Passo 3
Agora use a primitiva para escrever a integral definida até um limite finito
:
pois
e
.
Passo 4
Para a integral imprópria
devemos analisar o limite quando
da expressão obtida:
Mas
não tem limite quando
: ele oscila entre
e
. Em particular existem sequências
com
(por exemplo
) e outras com
(por exemplo
). Portanto
oscila entre
e
, e não tem limite quando
.
Consequentemente
também não existe (os valores limite ao longo de diferentes sequências dão
e
, por exemplo). Logo a integral imprópria não converge no sentido usual (o limite da integral definida até
não existe).
Passo 5
Para reforçar: a integral não converge nem absolutamente. De fato, como
é limitada entre
e
, temos
Sabemos que
e cada integral sobre um período é positiva (por exemplo
), portanto a soma diverge para
. Assim
diverge, o que mostra ausência de convergência absoluta.
Também não há convergência condicional aqui pelo fato de que a primitiva dá uma expressão que não tem limite quando a cota superior tende a infinito (como mostrado no Passo 4).
Resposta
A integral diverge (não converge).