Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3}\, dx
e pede que a calculemos. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O integrando é 2 x^{-3}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=\infty (ou seja, o limite superior é infinito).
  • Como o limite superior é infinito, trata-se de uma integral imprópria do tipo com limite infinito — precisamos interpretar a integral como um limite apropriado e verificar se ela converge.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria com limite infinito: quando temos \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx definimos por limite
\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{a}^{b} f(x)\,dx,
desde que esse limite exista finito. Aplicando isso ao nosso caso, escrevemos
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3}\, dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} 2 x^{-3}\, dx.
Explicação curta: estamos calculando a área sob a curva de x=1 até uma fronteira x=b finita, e depois vemos o que acontece quando essa fronteira vai para o infinito.

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de 2 x^{-3}. Usamos a regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-3. Primeiro calcule a primitiva de x^{-3}:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C.
Como há o fator 2 multiplicando, multiplicamos a primitiva por 2:
\int 2 x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C.
Portanto uma primitiva conveniente é F(x) = -x^{-2}. Observação: x^{-2} = \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida (com b finito) usando a primitiva F(x)=-x^{-2}:
\int_{1}^{b} 2 x^{-3}\, dx = F(b) - F(1) = \bigl(-b^{-2}\bigr) - \bigl(-1^{-2}\bigr).
Calcule 1^{-2}: 1^{-2}=1. Assim
\int_{1}^{b} 2 x^{-3}\, dx = -b^{-2} + 1.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando b\to\infty:
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3}\, dx = \lim_{b\to\infty} \bigl(-b^{-2} + 1\bigr).
Como b^{-2} = \dfrac{1}{b^{2}} tende a 0 quando b\to\infty, temos \lim_{b\to\infty} (-b^{-2}) = 0. Portanto o limite é
\lim_{b\to\infty} \bigl(-b^{-2} + 1\bigr) = 0 + 1 = 1.

Passo 6

Conclusão e comentário didático: a integral imprópria converge e seu valor é 1. Uma observação geral útil para provas: a integral \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge se, e somente se, p>1. No nosso caso o integrando é proporcional a x^{-3} (ou seja, p=3), e como 3>1 a convergência era esperada — a conta acima confirma e fornece o valor exato.

Resposta

1

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