Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado dá a integral imprópria
e pede que a calculemos. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até (ou seja, o limite superior é infinito). - Como o limite superior é infinito, trata-se de uma integral imprópria do tipo com limite infinito — precisamos interpretar a integral como um limite apropriado e verificar se ela converge.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria com limite infinito: quando temos
definimos por limite
desde que esse limite exista finito. Aplicando isso ao nosso caso, escrevemos
Explicação curta: estamos calculando a área sob a curva de
até uma fronteira
finita, e depois vemos o que acontece quando essa fronteira vai para o infinito.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra do poder: para
,
Aqui
. Primeiro calcule a primitiva de
:
Como há o fator
multiplicando, multiplicamos a primitiva por
:
Portanto uma primitiva conveniente é
. Observação:
.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida (com
finito) usando a primitiva
:
Calcule
:
. Assim
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como
tende a
quando
, temos
. Portanto o limite é
Passo 6
Conclusão e comentário didático: a integral imprópria converge e seu valor é
. Uma observação geral útil para provas: a integral
converge se, e somente se,
. No nosso caso o integrando é proporcional a
(ou seja,
), e como
a convergência era esperada — a conta acima confirma e fornece o valor exato.