Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
; a integral é imprópria porque o limite inferior é . - Há uma singularidade potencial em
(pois o denominador é ), mas não pertence ao intervalo , então não precisamos tratar uma descontinuidade interior neste caso. - Devemos interpretar a integral imprópria como um limite apropriado: integrar de
até e fazer .
Passo 2
Simplificamos o integrando algebricamente antes de integrar. Para
,
Explicação didática: dividir polinômios term a termo é permitido quando o denominador é diferente de zero; aqui cada termo foi simplificado usando
e
.
Passo 3
Relembrando regras básicas de integração que usaremos:
- Para
, . - Para
, .
Aqui aplicamos essas regras aos termose .
Passo 4
Calculamos a primitiva (antiderivada) do integrando:
Usando as regras:
Portanto uma primitiva é
Aqui
é qualquer antiderivada; ao calcular integral definida usaremos diferenças
.
Passo 5
Definimos a integral imprópria como limite:
Usamos a primitiva
para avaliar a integral definida entre
e
:
Passo 6
Calculamos
e analisamos
quando
.
Primeiro,
Primeiro,
Agora,
Quando
temos
, então
. E
(pois
). Logo
Passo 7
Substituindo na expressão da integral imprópria:
Interpretação didática: o termo
na primitiva cresce sem limite quando
tende a
, então a diferença que define a integral tende a
, isto é, a área (orientada) acumulada diverge negativamente.
Passo 8
Alternativa rápida de ver a divergência (intuição): para
com grande módulo negativo,
domina
, e
já diverge (pois
diverge quando o limite vai a
). Como o nosso integrando difere por uma função integrável (
tem integral convergente em
), a presença de
que diverge faz a integral total divergir para
.