Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{x^{2}+x}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{x^{2}+x}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é \dfrac{x^{2}+x}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,-1]; a integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
  • Há uma singularidade potencial em x=0 (pois o denominador é x^{3}), mas x=0 não pertence ao intervalo (-\infty,-1], então não precisamos tratar uma descontinuidade interior neste caso.
  • Devemos interpretar a integral imprópria como um limite apropriado: integrar de a até -1 e fazer a\to-\infty.

Passo 2

Simplificamos o integrando algebricamente antes de integrar. Para x\neq0,
\frac{x^{2}+x}{x^{3}}=\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3} }=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Explicação didática: dividir polinômios term a termo é permitido quando o denominador é diferente de zero; aqui cada termo foi simplificado usando x^{2}/x^{3}=x^{2-3}=x^{-1}=1/x e x/x^{3}=x^{1-3}=x^{-2}=1/x^{2}.

Passo 3

Relembrando regras básicas de integração que usaremos:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Para n=-1, \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
    Aqui aplicamos essas regras aos termos \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.

Passo 4

Calculamos a primitiva (antiderivada) do integrando:
\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx+\int x^{-2}\,dx.
Usando as regras:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\ln|x|-\frac{1}{x}+C.
Aqui F(x) é qualquer antiderivada; ao calcular integral definida usaremos diferenças F(b)-F(a).

Passo 5

Definimos a integral imprópria como limite:
\int_{-\infty}^{-1}\frac{x^{2}+x}{x^{3}}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Usamos a primitiva F para avaliar a integral definida entre a e -1:
\int_{a}^{-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx=F(-1)-F(a).

Passo 6

Calculamos F(-1) e analisamos F(a) quando a\to-\infty.
Primeiro,
F(-1)=\ln|-1|-\frac{1}{-1}=\ln 1 +1=0+1=1.
Agora,
F(a)=\ln|a|-\frac{1}{a}.
Quando a\to-\infty temos |a|=-a\to+\infty, então \ln|a|\to+\infty. E -\dfrac{1}{a}\to0 (pois 1/a\to0). Logo
\lim_{a\to-\infty}F(a)=\lim_{a\to-\infty}\left(\ln|a|-\frac{1}{a}\right)=+\infty.

Passo 7

Substituindo na expressão da integral imprópria:
\int_{-\infty}^{-1}\frac{x^{2}+x}{x^{3}}\,dx=\lim_{a\to-\infty}\big(F(-1)-F(a)\big)=1-\big(+\infty\big)=-\infty.
Interpretação didática: o termo \ln|x| na primitiva cresce sem limite quando x tende a -\infty, então a diferença que define a integral tende a -\infty, isto é, a área (orientada) acumulada diverge negativamente.

Passo 8

Alternativa rápida de ver a divergência (intuição): para x com grande módulo negativo, \dfrac{1}{x} domina \dfrac{1}{x^{2}}, e \int_{-\infty}^{-1}\dfrac{1}{x}\,dx já diverge (pois \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x| diverge quando o limite vai a \infty). Como o nosso integrando difere por uma função integrável ( 1/x^{2} tem integral convergente em (-\infty,-1]), a presença de 1/x que diverge faz a integral total divergir para -\infty.

Resposta

\displaystyle -\infty

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