Resolver as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - A expressão
exige , isto é, ou . Como a integração começa em , a função está bem definida no intervalo considerado (não há singularidade no limite inferior). - O que precisamos decidir: se a integral converge e, se convergente, calcular seu valor; se diverge, identificar para onde diverge (por exemplo
).
Passo 2
Estratégia: achar uma primitiva (antiderivada) da função
. Uma substituição algébrica simples ajuda: vamos definir
Explico a ideia: muitas integrais que têm uma raiz do tipo
ficam mais simples se expressarmos essa raiz como
, transformando
em alguma expressão em
. Isso é a técnica de substituição (trocar variável para simplificar a integral).
Passo 3
Calculemos
a partir de
. Diferenciando,
Daí isolamos
:
Passo 4
Agora substituímos na integral original. A parte
vira
e
vira
. Assim
Portanto a integral indefinida correspondente é
Passo 5
Integramos usando a regra do poder: para
,
. Aqui
, então
Voltando para
, obtemos a primitiva
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando
usando a regra da cadeia:
ou seja, a primitiva está correta.
Passo 7
Como a integral é imprópria por ter limite superior infinito, calculamos
Isso dá
Passo 8
Agora avaliamo o limite
. Note que
Quando
, tem
e portanto
. Assim
Logo a diferença
tende a
. Isso significa que a integral impropria diverge e seu valor é infinito positivo.
Resposta
A integral diverge; o valor é
.