Resolver as seguintes integrais impróprias:
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
  • O intervalo de integração é [2,\infty), ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A expressão \sqrt{x^{2}-1} exige x^{2}-1\ge 0, isto é, x\ge 1 ou x\le -1. Como a integração começa em x=2, a função está bem definida no intervalo considerado (não há singularidade no limite inferior).
  • O que precisamos decidir: se a integral converge e, se convergente, calcular seu valor; se diverge, identificar para onde diverge (por exemplo +\infty).

Passo 2

Estratégia: achar uma primitiva (antiderivada) da função \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}. Uma substituição algébrica simples ajuda: vamos definir
u = x^{2}-1.
Explico a ideia: muitas integrais que têm uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-1} ficam mais simples se expressarmos essa raiz como \sqrt{u}, transformando x\,dx em alguma expressão em du. Isso é a técnica de substituição (trocar variável para simplificar a integral).

Passo 3

Calculemos du a partir de u = x^{2}-1. Diferenciando,
du = 2x\,dx.
Daí isolamos x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Agora substituímos na integral original. A parte \sqrt{x^{2}-1} vira \sqrt{u} e x\,dx vira \dfrac{1}{2}\,du. Assim
\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du.
Portanto a integral indefinida correspondente é
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Integramos usando a regra do poder: para n\neq -1, \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2}+C.
Voltando para x, obtemos a primitiva
F(x)=\sqrt{x^{2}-1}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando F(x)=\sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2} usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}},
ou seja, a primitiva está correta.

Passo 7

Como a integral é imprópria por ter limite superior infinito, calculamos
\int_{2}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[ \sqrt{x^{2}-1} \right]_{x=2}^{x=b}.
Isso dá
\lim_{b\to\infty} \big(\sqrt{b^{2}-1} - \sqrt{2^{2}-1}\big) = \lim_{b\to\infty} \sqrt{b^{2}-1} - \sqrt{3}.

Passo 8

Agora avaliamo o limite \lim_{b\to\infty}\sqrt{b^{2}-1}. Note que
\sqrt{b^{2}-1} = b\sqrt{1-\frac{1}{b^{2}}}.
Quando b\to\infty, tem \dfrac{1}{b^{2}}\to 0 e portanto \sqrt{1-\dfrac{1}{b^{2}}}\to 1. Assim
\lim_{b\to\infty}\sqrt{b^{2}-1} = \lim_{b\to\infty} b\cdot 1 = +\infty.
Logo a diferença \sqrt{b^{2}-1}-\sqrt{3} tende a +\infty. Isso significa que a integral impropria diverge e seu valor é infinito positivo.

Resposta

A integral diverge; o valor é +\infty.

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