Resolver as seguintes integrais
integral ln (cos (x))cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral ln(cos(x))cos^2(x),dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes, aproveitando que d(tan x)=sec^2(x),dx.

Passo 2

Escolhemos as partes da integração por partes como
u = ln(cos(x))
dv = sec^2(x),dx
Logo, calculamos
du = -tan(x),dx, v = tan(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
integral ln(cos(x)),sec^2(x),dx = tan(x)ln(cos(x)) - integral tan(x)l(-tan(x)r),dx = tan(x)ln(cos(x)) + integral tan^2(x),dx

Passo 4

Para integral tan^2(x),dx usamos a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1, de modo que
integral tan^2(x),dx = integralsec^2(x),dx - integral dx = tan(x) - x + C

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta, concluímos
integral ln(cos(x))cos^2(x),dx = tan(x)ln(cos(x)) + l(tan(x)-xr) + C = tan(x)ln(cos(x)) + tan(x) - x + C

Resposta

tan(x)ln(cos(x)) + tan(x) - x + C

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