O valor da integral definida integral-a^a cos ^2 x d x, tendo em conta que cos ^2 x=1+cos 2 x2, é
Escolha uma opção:
  • sen 2 a2
    a+sen 2 a2
  • 2 a+sen 2 a2
  • 2 a+sen a
    a+sen a

Passo 1

Então, a gente tem uma integral definida para resolver: integral-a^a cos^2 x , dx. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Pra resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma cos^2 x em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade dada no enunciado: cos^2 x = 1 + cos 2x2. Essa identidade simplifica a expressão da função que vamos integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, ficamos com:
integral-a^a cos^2 x , dx = integral-a^a 1 + cos 2x2 , dx
Isso separa a integral em duas partes mais simples.

Passo 4

Agora, vamos quebrar a integral em duas:
12 integral-a^a 1 , dx + 12 integral-a^a cos 2x , dx
A primeira parte é a integral de uma constante, e a segunda é a integral de uma função cosseno.

Passo 5

Integrando a primeira parte:
12 integral-a^a 1 , dx = 12 [x]-a^a = 12 (a - (-a)) = 12 (2a) = a
Então, a integral da constante 1 de -a a a é 2a multiplicado por 12, resultando em a.

Passo 6

Agora, integrando a segunda parte:
12 integral-a^a cos 2x , dx = 12 [ sin 2x2 ]-a^a = 14 (sin 2a - sin (-2a))
Lembrando que sin(-theta) = -sin theta, então:
14 (sin 2a + sin 2a) = 14 (2 sin 2a) = sin 2a2

Passo 7

Finalmente, somando as duas partes integradas:
a + sin 2a2

Resposta

O valor da integral definida é a + sin 2a2.

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