Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{cosec}^{3} x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{cosec}^{3}x\,dx
e indica o método a usar: integração por partes. Informação dada: a função integranda é \operatorname{cosec}^{3}x (ou seja, \csc^{3}x). A pergunta é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeira ideia prática: escrever a integranda de forma a facilitar a aplicação da fórmula de integração por partes. Note que
\csc^{3}x=\csc x\cdot\csc^{2}x.
Então vamos usar a decomposição \csc x\cdot\csc^{2}x e escolher u e dv para a integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
pois as duas expressões diferem só por uma constante (são equivalentes como primitiva). Vou usar a forma com \ln\bigl|\tan\frac{x}{2}\bigr| no resultado final.
Passo 6
Voltando à expressão para I:
I = -\tfrac{1}{2}\csc x\cot x + \tfrac{1}{2}\int \csc x\,dx = -\tfrac{1}{2}\csc x\cot x + \tfrac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C.
Aqui C é a constante de integração (pode absorver constantes vindas do cálculo de \int\csc x\,dx). Portanto obtemos a primitiva desejada.
Resposta
-\dfrac{1}{2}\csc x\cot x + \dfrac{1}{2}\ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right| + C