Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{cosec}^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{cosec}^{3}x\,dx
e indica o método a usar: integração por partes. Informação dada: a função integranda é \operatorname{cosec}^{3}x (ou seja, \csc^{3}x). A pergunta é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeira ideia prática: escrever a integranda de forma a facilitar a aplicação da fórmula de integração por partes. Note que
\csc^{3}x=\csc x\cdot\csc^{2}x.
Então vamos usar a decomposição \csc x\cdot\csc^{2}x e escolher u e dv para a integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho
u=\csc x,\qquad dv=\csc^{2}x\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v. Sabendo as derivadas básicas:
\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x,\qquad \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x.
Logo
du = -\csc x\cot x\,dx,\qquad v=-\cot x.
Aplicando integração por partes:
\int \csc x\cdot\csc^{2}x\,dx = u v - \int v\,du = \csc x\cdot(-\cot x) - \int (-\cot x)\cdot(-\csc x\cot x)\,dx.
Simplificando os sinais:
\int \csc^{3}x\,dx = -\csc x\cot x - \int \csc x\cot^{2}x\,dx.

Passo 4

Agora usamos a identidade trigonométrica
\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
Substituindo em \int \csc x\cot^{2}x\,dx:
\int \csc x\cot^{2}x\,dx = \int \csc x(\csc^{2}x-1)\,dx = \int \csc^{3}x\,dx - \int \csc x\,dx.
Denotando I=\int \csc^{3}x\,dx, a relação do passo anterior fica
I = -\csc x\cot x - \bigl(I - \int \csc x\,dx\bigr).
Distribuindo o sinal:
I = -\csc x\cot x - I + \int \csc x\,dx.
Isolando I:
2I = -\csc x\cot x + \int \csc x\,dx.
Portanto
I = -\tfrac{1}{2}\csc x\cot x + \tfrac{1}{2}\int \csc x\,dx.
Faltou calcular \int \csc x\,dx.

Passo 5

Vamos calcular \int \csc x\,dx. Há um truque clássico: multiplicar e dividir por \csc x + \cot x. Observe que
\int \csc x\,dx = \int \csc x\cdot\frac{\csc x+\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx = \int \frac{\csc^{2}x + \csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx.
Repare que o numerador é (menos) a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x+\cot x\bigr) = -\csc x\cot x - \csc^{2}x = -(\csc^{2}x+\csc x\cot x).
Assim
\frac{\csc^{2}x + \csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx = -\frac{d(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x}.
Integrando,
\int \csc x\,dx = -\int \frac{d(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x} = -\ln\bigl|\csc x+\cot x\bigr| + C.
Outra forma equivalente (às vezes mais bonita) é
\int \csc x\,dx = \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C,
pois as duas expressões diferem só por uma constante (são equivalentes como primitiva). Vou usar a forma com \ln\bigl|\tan\frac{x}{2}\bigr| no resultado final.

Passo 6

Voltando à expressão para I:
I = -\tfrac{1}{2}\csc x\cot x + \tfrac{1}{2}\int \csc x\,dx = -\tfrac{1}{2}\csc x\cot x + \tfrac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C.
Aqui C é a constante de integração (pode absorver constantes vindas do cálculo de \int\csc x\,dx). Portanto obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\csc x\cot x + \dfrac{1}{2}\ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right| + C

Exercícios relacionados