Resolver os seguintes problemas:
Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de , de modo que o seu raio passa a ser uma função do tempo.
i. Calcule a taxa de variação do raio no instante em que . O raio está aumentando ou diminuindo?
ii. Sabendo que a área de uma esfera de raio é , mostre que a taxa de variação da área superficial (com respeito ao tempo) do balão é inversamente proporcional ao seu raio.
Passo 1
O enunciado trata de um balão esférico cujo volume de gás vai diminuindo à razão constante de L/min. Sabemos que o volume de uma esfera de raio é
e que a área superficial é
O conteúdo aqui é derivação implícita em taxas relacionadas: em (i) vamos achar quando , e em (ii) mostrar que varia como .
Passo 2
Diferenciando em relação ao tempo a relação
obtemos por regra da cadeia
Como o gás escapa, temos . Logo
Passo 3
No instante em que , substituímos em
e achamos
O sinal negativo mostra que o raio está diminuindo.