Resolver os seguintes problemas:
Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de 2 L / min, de modo que o seu raio r passa a ser uma função do tempo.
i. Calcule a taxa de variação do raio no instante t0 em que r(t0)=1. O raio está aumentando ou diminuindo?
ii. Sabendo que a área de uma esfera de raio R>0 é 4 pi R^2, mostre que a taxa de variação da área superficial (com respeito ao tempo) do balão é inversamente proporcional ao seu raio.

Passo 1

O enunciado trata de um balão esférico cujo volume de gás vai diminuindo à razão constante de dVdt=-2 L/min. Sabemos que o volume de uma esfera de raio r é
V=43pi r^3,
e que a área superficial é
A=4pi r^2
O conteúdo aqui é derivação implícita em taxas relacionadas: em (i) vamos achar drdt quando r=1, e em (ii) mostrar que dAdt varia como 1/r.

Passo 2

Diferenciando em relação ao tempo a relação
V=43pi r^3,
obtemos por regra da cadeia
dVdt =ddtl(tfrac43pi r^3r) =4pi r^2,drdt
Como o gás escapa, temos dVdt=-2. Logo
4pi r^2,drdt=-2 Longrightarrow drdt=-24pi r^2 =-12pi r^2

Passo 3

No instante t0 em que r(t0)=1, substituímos r=1 em
drdt=-12pi r^2
e achamos
drdt|r=1 =-12pi
O sinal negativo mostra que o raio está diminuindo.

Passo 4

Agora, partindo de
A=4pi r^2,
derivamos em t:
dAdt =ddtl(4pi r^2r) =8pi r,drdt
Mas já temos drdt=dV/dt4pi r^2. Substituindo:
dAdt =8pi r;dV/dt4pi r^2 =8pi r4pi r^2,dVdt =2r,dVdt
Como dVdt é constante, dAdt é proporcional a 1/r.

Resposta

i. drdtl|r=1=-12pi, o raio está diminuindo.
ii. dAdt=2r,dVdt, logo dAdtpropto1r.

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