Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Vamos resolver a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Neste exercício, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que permite separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa reorganizar a equação para que todas as expressões contendo $ y $ fiquem de um lado e as que contêm $ x $ fiquem do outro lado.
Começamos com:
Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por $ e^{y} $:
Agora, temos as variáveis separadas: $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 3
Com as variáveis separadas, integramos ambos os lados da equação para encontrar $ y $ em termos de $ x $.
Integramos o lado esquerdo com relação a $ y $ e o lado direito com relação a $ x $:
Simplificando $ \frac{1}{e^{y}} $ para $ e^{-y} $:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
- Integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra básica da integral de $ e^{ky} $, que é $ \frac{1}{k} e^{ky} $, onde $ k = -1 $.
- Integral do lado direito:
A integral de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, pois a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $.
Passo 5
Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma constante geral $ C $:
Passo 6
Utilizamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na equação:
Passo 7
Substituímos o valor de $ C $ de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para simplificar:
Passo 8
Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: