Resolver os seguintes PVIs
d yd x=e^y cos (x), y(0)=0

Passo 1

Vamos resolver a seguinte equação diferencial com condição inicial:
dydx = e^y cos(x), y(0) = 0
Neste exercício, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que permite separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa reorganizar a equação para que todas as expressões contendo $ y $ fiquem de um lado e as que contêm $ x $ fiquem do outro lado.
Começamos com:
y
Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por $ e^{y} $:
x
Agora, temos as variáveis separadas: $ y $ de um lado e $ x $ do outro.

Passo 3

Com as variáveis separadas, integramos ambos os lados da equação para encontrar $ y $ em termos de $ x $.
Integramos o lado esquerdo com relação a $ y $ e o lado direito com relação a $ x $:
y
Simplificando $ \frac{1}{e^{y}} $ para $ e^{-y} $:
x

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  1. Integral do lado esquerdo:
integral e^-y , dy = -e^-y + C1
Aqui, usamos a regra básica da integral de $ e^{ky} $, que é $ \frac{1}{k} e^{ky} $, onde $ k = -1 $.
  1. Integral do lado direito:
e^ky
A integral de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, pois a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $.

Passo 5

Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma constante geral $ C $:
C1

Passo 6

Utilizamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 0 $ na equação:
y(0) = 0

Passo 7

Substituímos o valor de $ C $ de volta na equação:
C
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para simplificar:
- e^-y = sin(x) - 1

Passo 8

Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
y
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
- y = ln(1 - sin(x))

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(x) = - ln(1 - sin(x))

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