Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule
, onde
é sucessivamente dado por:
\left(
\right)
\left(
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas:
- Resolver o sistema linear de equações diferenciais ordinárias
(ou seja, escrever a solução geral ); - Calcular explicitamente
.
Informações relevantes que temos (diretamente da matriz acima):
-
é uma matriz com entradas indicadas. - A solução geral de
pode ser escrita, se diagonalizável, como combinação linear de vezes vetores próprios. - Para calcular
vamos usar a diagonalização (se possível) e a fórmula .]
Passo 2
Vamos encontrar os autovalores de
calculando o polinômio característico
.
Começo montando
e calculando o determinante:
Usando a primeira linha na expansão:
Calculo cada menor:
Substituindo:
Note que os dois últimos termos se cancelam:
logo
Fatorando
, obtemos
Portanto os autovalores são
todos distintos.]
Passo 3
Como os autovalores são distintos,
é diagonalizável. Agora encontro um autovetor associado a cada autovalor resolvendo
.
Para
: resolvo
Da primeira equação
vem
. Substituindo na segunda ou terceira obtém-se
. Logo um autovetor associado a
é
Para
: resolvo
Da primeira equação
. Da segunda (ou terceira) obtém-se
. Então
. Um autovetor associado a
é
Para
: resolvo
Das equações deduz-se
e também
. Substituindo
dá
. Um autovetor associado a
é
Resumo dos autovalores e autovetores (escolhas convenientes):
Passo 4
A solução geral do sistema homogêneo
na forma de combinação de modos próprios é
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo,
fixa o vetor
via
, com
formado pelos autovetores). Explicitando:
(Isto já resolve a parte do sistema ODE. Se for dado
, encontra-se
.)]
Passo 5
Agora calculo
explicitamente usando diagonalização. Defino a matriz
cujas colunas são os autovetores (na ordem dos autovalores escolhidos
):
Então
e
Preciso de
. Calculo o determinante de
: por desenvolvimento obtive
. Calculando a matriz adjunta (matriz dos cofatores transposta) encontra-se
(Verificação rápida:
.)]
Passo 6
Faço primeiro
(isto corresponde a multiplicar cada linha
de
por
):
Passo 7
Agora multiplico
por
para obter
. Faço entrada a entrada (soma sobre k das entradas
):
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Portanto, a matriz exponencial fica
(Confirme rapidamente em
: todos os
valem
e a matriz reduz à identidade
, como esperado.)]
Passo 8
Relacionando as duas partes: dado um vetor inicial
, a solução do sistema é
Alternativamente, escrevendo em termos das constantes
dos autovetores, temos
e