Use a transformada de Laplace para calcular
onde
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que usar a transformada de Laplace para calcular a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $, onde a matriz $ \mathbf{A} $ é dada por:
O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente matrizes e transformadas de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em matrizes e como calcular a matriz inversa no domínio de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz exponencial. A matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é usada para resolver sistemas de equações diferenciais lineares e é definida pela série de Taylor:
Mas como vamos usar a transformada de Laplace, precisamos relacionar essa definição com a transformada da própria matriz.
Passo 3
A ideia é utilizar a propriedade da transformada de Laplace para matrizes. Sabemos que:
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a transformada de Laplace, $ s $ é a variável da transformada, e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Então, para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos calcular a inversa de $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $.
Passo 4
Vamos montar a matriz $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $:
$$
s\mathbf{I} - \mathbf{A} =
\frac{1}{ad - bc}
$$
Vamos calcular o determinante $ ad - bc $ da nossa matriz.
Vamos calcular o determinante $ ad - bc $ da nossa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante:
Então, a inversa de $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $ é:
Agora, temos a expressão de $ \mathcal{L}{e^{\mathbf{A} t}} $. Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada elemento dessa matriz.
Passo 6
Vamos fazer a transformada inversa de Laplace elemento por elemento:
Para cada elemento, identificamos que temos termos da forma $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2} $ e $ \frac{b}{(s - a)^2 + b^2} $, cujas transformadas inversas são $ e^{a t} \cos(bt) $ e $ e^{a t} \sin(bt) $, respectivamente.
Passo 7
Vamos reescrever o denominador $ s^2 - 2s + 4 $ completando o quadrado:
Isso nos ajuda a identificar $ a = 1 $ e $ b = \sqrt{3} $ nas fórmulas das transformadas inversas.
Passo 8
Agora, aplicando a transformada inversa a cada elemento:
Resposta
Portanto, a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é: