Use a transformada de Laplace para calcular e^A t onde

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que usar a transformada de Laplace para calcular a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $, onde a matriz $ \mathbf{A} $ é dada por:
e^A t
O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente matrizes e transformadas de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em matrizes e como calcular a matriz inversa no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz exponencial. A matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é usada para resolver sistemas de equações diferenciais lineares e é definida pela série de Taylor:
e^A t
Mas como vamos usar a transformada de Laplace, precisamos relacionar essa definição com a transformada da própria matriz.

Passo 3

A ideia é utilizar a propriedade da transformada de Laplace para matrizes. Sabemos que:
Le^A t = (sI - A)^-1
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a transformada de Laplace, $ s $ é a variável da transformada, e $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade. Então, para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos calcular a inversa de $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A}) $.

Passo 4

Vamos montar a matriz $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $:
$$
s\mathbf{I} - \mathbf{A} = sI - A

sI - A = s & 0 0 & s - 0 & -2 2 & 2 = s & 2 -2 & s - 2

a & b c & d
1ad - bc d & -b -c & a é
\frac{1}{ad - bc} ad - bc
$$
Vamos calcular o determinante $ ad - bc $ da nossa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante:
ad - bc = s(s - 2) - (2)(-2) = s^2 - 2s + 4
Então, a inversa de $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $ é:
sI - A
Agora, temos a expressão de $ \mathcal{L}{e^{\mathbf{A} t}} $. Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada elemento dessa matriz.

Passo 6

Vamos fazer a transformada inversa de Laplace elemento por elemento:
e^A t = L^-1 1s^2 - 2s + 4 s - 2 & -2 2 & s
Para cada elemento, identificamos que temos termos da forma $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2} $ e $ \frac{b}{(s - a)^2 + b^2} $, cujas transformadas inversas são $ e^{a t} \cos(bt) $ e $ e^{a t} \sin(bt) $, respectivamente.

Passo 7

Vamos reescrever o denominador $ s^2 - 2s + 4 $ completando o quadrado:
s^2 - 2s + 4
Isso nos ajuda a identificar $ a = 1 $ e $ b = \sqrt{3} $ nas fórmulas das transformadas inversas.

Passo 8

Agora, aplicando a transformada inversa a cada elemento:
L^-1 s - 2(s - 1)^2 + 3 = e^t ( cos(raiz3 t) - 2raiz3 sin(raiz3 t) )
L^-1 -2(s - 1)^2 + 3 = -2 e^t sin(raiz3 t)raiz3
L^-1 2(s - 1)^2 + 3 = 2 e^t sin(raiz3 t)raiz3
L^-1 s(s - 1)^2 + 3 = e^t ( cos(raiz3 t) + 1raiz3 sin(raiz3 t) )

Resposta

Portanto, a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $ é:
e^A t

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