Usando alguma substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é lidar com raízes do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}} e usar a identidade 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\tan\theta, \qquad dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Com isso,
x^{2}=4\tan^{2}\theta, \quad \sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{4\tan^{2}\theta+4}=2\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral em x:
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}} =\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(4\tan^{2}\theta)\,(2\operatorname{sec}\theta)} =\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{8\tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \operatorname{sec}\theta/\tan^{2}\theta=(1/\cos\theta)\bigl(\cos^{2}\theta/\sin^{2}\theta\bigr)=\cos\theta/\sin^{2}\theta, temos
\frac{1}{4}\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta =\frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a primitiva conhecida
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C,
portanto
\frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta =-\frac{1}{4}\csc\theta + C.

Passo 5

Voltaremos a x. Como \tan\theta = x/2, num triângulo reto temos
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}, \quad \csc\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}.
Logo a antiderivada em x é
-\frac{1}{4}\csc\theta + C =-\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}} =-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x}+C }.

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