Resolver os sistemas abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss.
\left\{\begin{aligned} 3 x+3 y-2 z-t & =2 \\\\ 5 x+2 y+z-2 t & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-t & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de eliminação de Gauss, o sistema
\begin{cases} 3x + 3y - 2z - t = 2,\\\\ 5x + 2y + z - 2t = 1,\\\\ 2x - y + 3z - t = -1. \end{cases}
Vamos montar a matriz aumentada, zerar abaixo dos pivôs, identificar variáveis livres e depois fazer a retro-substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 3 & -2 & -1 & 2\\\\ 5 & 2 & 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -1 & 3 & -1 & -1 \end{array}\right].
O pivô inicial é o elemento 3 na primeira linha e primeira coluna.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô usando combinações lineares:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{5}{3}R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 3 & -2 & -1 & 2\\\\ 0 & -3 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3}\\\\ 0 & -3 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3} \end{array}\right].

Passo 4

A linha 3 ficou idêntica à linha 2, então só temos duas equações independentes. Multiplicando a linha 2 por 3\) obtemos a forma triangular: \[\begin{cases} 3x + 3y - 2z - t = 2,\\\\ -9y + 13z - t = -7. \end{cases}
Como há 4 incógnitas e apenas 2 equações independentes, temos (4-2=2] variáveis livres.

Passo 5

Escolhemos \displaystyle z=\lambda e \displaystyle t=\mu como parâmetros livres.
Da segunda equação:
-9y + 13\lambda - \mu = -7 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{13\lambda - \mu + 7}{9}.

Passo 6

Usando a primeira equação para encontrar x:
3x = 2 - 3y + 2z + t = 2 - 3\cdot\frac{13\lambda - \mu + 7}{9} + 2\lambda + \mu = \frac{-1 - 7\lambda + 4\mu}{3},
logo
x = \frac{-1 - 7\lambda + 4\mu}{9}.

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x = \dfrac{-1 - 7\lambda + 4\mu}{9},\\[6pt] y = \dfrac{13\lambda - \mu + 7}{9},\\[4pt] z = \lambda,\\\ t = \mu, \end{cases} \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. }]

Exercícios relacionados