(UFF-RJ) Lúcia resolve organizar uma festa de aniversário para seu filho e encomenda, para servir aos convidados, 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces. Servirá, a cada homem, 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces; a cada mulher, 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces; a cada criança, 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces.Para que não sobrem nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, qual o número de pessoas que devem ser convidadas?

Passo 1

Resumindo, vamos chamar de M o número de homens, de W o número de mulheres e de C o número de crianças. Cada categoria consome:
– homens: 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos, 3 doces
– mulheres: 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos, 4 doces
– crianças: 2 refrigerantes, 1 sanduíche, 0 salgadinhos, 4 doces
Como há exatamente 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces, montamos o sistema
\begin{cases} 3M + 2W + 2C = 107,\\\\ 3M + 2W + C = 95,\\\\ 3M + 5W = 113,\\\\ 3M + 4W + 4C = 151. \end{cases}

Passo 2

Do terceiro (salgadinhos), temos
3M + 5W = 113
e queremos solu­ções inteiras não negativas. Reescrevendo
M = \frac{113 - 5W}{3}.
Para ser inteiro, 113-5W deve ser múltiplo de 3. Como 113\equiv2\pmod3 e 5\equiv2\pmod3, precisamos de
2 - 2W \equiv 0\pmod3\quad\Longrightarrow\quad W\equiv1\pmod3.

Passo 3

Seja W=3k+1 com k\in\mathbb{Z}. Então
M = \frac{113 - 5(3k+1)}{3} = \frac{113 -15k -5}{3} = \frac{108 -15k}{3} =36 -5k.

Passo 4

Usamos agora a equação das sanduíches para achar C:
3M + 2W + C = 95 \quad\Longrightarrow\quad C = 95 - (3M+2W).
Substituindo M=36-5k e W=3k+1:
3M+2W = 3(36-5k)+2(3k+1)=108 -15k+6k+2 =110 -9k,
C = 95 - (110 -9k) = 9k -15.
Por outro lado, da equação dos refrigerantes,
3M + 2W + 2C = 107
110 -9k +2C =107 \quad\Longrightarrow\quad 2C = -3 +9k \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{-3+9k}{2}.
Igualando as duas expressões de C:
9k -15 = \frac{-3+9k}{2} \quad\Longrightarrow\quad 18k -30 = 9k -3 \quad\Longrightarrow\quad 9k = 27 \quad\Longrightarrow\quad k =3.

Passo 5

Para k=3:
W = 3\cdot3 +1 =10, \quad M = 36 -5\cdot3 =21, \quad C = 9\cdot3 -15 =12.
Verificamos na equação dos doces:
3M + 4W + 4C = 3\cdot21 +4\cdot10 +4\cdot12 =63 +40 +48 =151,
confere com o enunciado.

Passo 6

O total de convidados é
M + W + C = 21 +10 +12 = 43.

Resposta

O número de convidados deve ser 43 (sendo 21 homens, 10 mulheres e 12 crianças).

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