Resolver os sistemas pelo método matricial
l -2 x1-x2+2 x4=b1 3 x1+x2-2 x3-2 x4=b2 -4 x1-x2+2 x3+3 x4=b3 3 x1+x2-x3-2 x4=b4
Para b1=-8, b2=-4, b3=-9 e b4=8.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
l -2x1-x2+2x4=b1, 3x1+x2-2x3-2x4=b2, -4x1-x2+2x3+3x4=b3, 3x1+x2-x3-2x4=b4,
para ,b1=-8,;b2=-4,;b3=-9,;b4=8, usando o método matricial (eliminação de Gauss).

Passo 2

Escrevemos na forma matricial :
Formamos a matriz aumentada e vamos escalonar para triangular superior.

Passo 3

Eliminamos x1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
  • L2 L2+tfrac32,L1
  • L3 L3-2,L1
  • L4 L4+tfrac32,L1
    Isso leva a
-2 & -1 & 0 & 2 &mid& -8 0 & -tfrac12 & -2 & 1 &mid& -16 0 & 1 & 2 & -1 &mid& 7 0 & -tfrac12 & -1 & 1 &mid& -4

Passo 4

Para ter pivot unitário na coluna de x2, trocamos L2rightarrow L3 e, em seguida, eliminamos x2 nas outras linhas:
  • L1 L1+L2
  • L3 L3+tfrac12,L2
  • L4 L4+tfrac12,L2
    Obtém-se
-2 & 0 & 2 & 1 &mid& -1 0 & 1 & 2 & -1 &mid& 7 0 & 0 & -1 & tfrac12 &mid& -tfrac252 0 & 0 & 0 & tfrac12 &mid& -tfrac12

Passo 5

Normalizamos as últimas duas linhas para ter pivôs 1 em x4 e x3:
  • L4 2,L4 implies x4 = -1.
  • L3 -1,L3 implies x3 - tfrac12,x4 = 12,5.
    Escrevendo as equações resultantes:
x4 = -1, x3 - 0,5,x4 = 12,5

Passo 6

Retrosubstituição a partir de x4:
  • De x4=-1 segue x3 - 0,5(-1)=12,5 ;Rightarrow;x3=12.
  • Na 2ª linha escalonada: x2+2x3-x4=7 ;Rightarrow;x2+2cdot12-(-1)=7 ;Rightarrow;x2=-18.
  • Na 1ª linha escalonada: -2x1+2x3+x4=-1 ;Rightarrow;-2x1+24-1=-1 ;Rightarrow;x1=12.

Resposta

x1=12, x2=-18, x3=12, x4=-1

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