Resolver os sistemas pela regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=1 \\\\ 2 x+3 z=-1 \\\\ 4 x+y-2 z=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x - y + z = 1,\\\\ 2x + 3z = -1,\\\\ 4x + y - 2z = 7 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Vamos usar que, se A é a matriz dos coeficientes e \mathbf b é o vetor de termos independentes, então
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D},
onde
D = \det(A),\quad D_x = \det(A_x),\quad D_y = \det(A_y),\quad D_z = \det(A_z),
e A_x,A_y,A_z são as matrizes obtidas trocando-se, respectivamente, a coluna de x,y,z pelo vetor \mathbf b.

Passo 2

Primeiro montamos
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & 3\\\\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 7\end{pmatrix}.
Calculamos
D = \det(A) = 3\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & -2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & -2\end{pmatrix}=-3,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix}=-16,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=2,
segue
D = 3\cdot(-3)\;-\;(-1)\cdot(-16)\;+\;1\cdot2 = -9 -16 +2 = -23.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A por \mathbf b para obter
A_x = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 0 & 3\\\\ 7 & 1 & -2 \end{pmatrix}
e calculamos
D_x = \det(A_x) = 1\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & -2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 7 & -2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 7 & 1\end{pmatrix}.
Como \det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 1 & -2\end{pmatrix}=-3, \det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 7 & -2\end{pmatrix}=-19 e \det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 7 & 1\end{pmatrix}=-1, temos
D_x = 1\cdot(-3)\;-\;(-1)\cdot(-19)\;+\;1\cdot(-1) = -3 -19 -1 = -23.
Logo
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-23}{-23} = 1.

Passo 4

Para y, trocamos a segunda coluna por \mathbf b:
A_y = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 7 & -2 \end{pmatrix},
e calculamos
D_y = 3\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 7 & -2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 7\end{pmatrix}.
Usando \det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 7 & -2\end{pmatrix}=-19, \det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix}=-16, \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 7\end{pmatrix}=18, obtemos
D_y = 3\cdot(-19)\;-\;1\cdot(-16)\;+\;1\cdot18 = -57 +16 +18 = -23,
portanto
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-23}{-23} = 1.

Passo 5

Para z, trocamos a terceira coluna por \mathbf b:
A_z = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix},
e calculamos
D_z = 3\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 7\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 7\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Como \det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 7\end{pmatrix}=1, \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & 7\end{pmatrix}=18, \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=2, segue
D_z = 3\cdot1\;-\;(-1)\cdot18\;+\;1\cdot2 = 3 +18 +2 = 23,
e
z = \frac{D_z}{D} = \frac{23}{-23} = -1.

Resposta

x = 1,\;y = 1,\;z = -1.

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