Resolver os sistemas
lx times(2 i-j+3 k)=0 x cdot(i+2 j-2 k)=12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor x em R^3 que satisfaz simultaneamente
xtimes(2i-j+3k)=0
e
xcdot(i+2j-2k)=12
O conteúdo principal envolve produtos vetoriais e escalar, e veremos que a condição de produto vetorial nulo implica colinearidade.

Passo 2

Para que
xtimes(2i-j+3k)=0
deve ocorrer que x seja paralelo ao vetor
a=2i-j+3k
Logo existe um escalar t tal que
x=t,a=t,(2,-1,3)

Passo 3

Usamos a segunda equação
xcdot(i+2j-2k)=12
Seja b=(1,2,-2). Então
xcdotb =t,(2,-1,3)cdot(1,2,-2) =12
Calculando o produto escalar:
(2,-1,3)cdot(1,2,-2)=2cdot1+(-1)cdot2+3cdot(-2)=2-2-6=-6
Portanto
tcdot(-6)=12 Rightarrow t=-2

Passo 4

Substituindo t=-2 em x=t,(2,-1,3), obtemos
x=(-2),(2,-1,3)=(-4,2,-6)

Resposta

x=(-4,2,-6).

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