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Achar a melhor reta e determinar b_{0} ; b_{1} e D com os dados a seguir
\left[\begin{array}{cccccc}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ x_{i} & 5,5 & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 10,5 \\\ y_{i} & 3,5 & 6,0 & 7,0 & 4,0 & 5,5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "Achar a melhor reta e determinar b_{0}, b_{1} e D" usando os dados abaixo.
As informações fornecidas (tabela) são:
\begin{array}{cccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] x_i & 5,5 & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 10,5\\[4pt] y_i & 3,5 & 6,0 & 7,0 & 4,0 & 5,5 \end{array}
Então temos n=5 observações e as cinco pares (x_i,y_i) acima. O que preciso entregar: os coeficientes da reta ajustada por mínimos quadrados ordinários — isto é, b_{0} (intercepto) e b_{1} (inclinação) — e D, que aqui tomarei como o coeficiente de determinação R^{2}. Não inicio a resolução ainda; a seguir explico o método e calculo passo a passo.]

Passo 2

Vou explicar o método de mínimos quadrados de forma didática. A reta que ajustamos tem a forma
\hat{y}=b_{0}+b_{1}x.
Queremos escolher b_{0} e b_{1} que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
S(b_{0},b_{1})=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_{i}-b_{0}-b_{1}x_{i}\bigr)^{2}.
Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a b_{0} e b_{1} e igualamos a zero, obtendo as equações normais. Ao resolver essas equações obtemos as fórmulas padrões:
b_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\quad\text{e}\quad b_{0}=\bar{y}-b_{1}\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i},
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2},
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\bar{x}\bar{y}.
O coeficiente de determinação R^{2} (aqui chamado D) mede a fração da variabilidade total de y explicada pela reta e é dado por
D=R^{2}=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}}=\frac{b_{1}S_{xy}}{\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}}.
Também é útil a fórmula
\text{SST}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}-n\bar{y}^{2},
e \text{SSR}=b_{1}S_{xy}. Agora vou calcular tudo usando os dados.

Passo 3

Calculo as somas necessárias a partir dos dados. Primeiro as somas simples (eu peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
n=5,
\sum_{i=1}^{n}x_{i}=5,5+6,5+7,5+8,5+10,5=38,5,
\sum_{i=1}^{n}y_{i}=3,5+6,0+7,0+4,0+5,5=26,0,
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=5,5^{2}+6,5^{2}+7,5^{2}+8,5^{2}+10,5^{2}=311,25,
\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}=3,5^{2}+6,0^{2}+7,0^{2}+4,0^{2}+5,5^{2}=143,5,
\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=5,5\cdot 3,5+6,5\cdot 6,0+7,5\cdot 7,0+8,5\cdot 4,0+10,5\cdot 5,5=202,5.

Passo 4

Calculo as médias \bar{x} e \bar{y}:
\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}=\frac{38,5}{5}=7,7,
\bar{y}=\frac{\sum y_{i}}{n}=\frac{26,0}{5}=5,2.

Passo 5

Calculo S_{xx} e S_{xy} usando as fórmulas dadas:
S_{xx}=\sum x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}=311,25-5\cdot(7,7)^{2}=311,25-5\cdot 59,29=311,25-296,45=14,8,
S_{xy}=\sum x_{i}y_{i}-n\bar{x}\bar{y}=202,5-5\cdot 7,7\cdot 5,2=202,5-5\cdot 40,04=202,5-200,2=2,3.

Passo 6

Agora calculo b_{1}:
b_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{2,3}{14,8}=\frac{23}{148}\approx 0,155405\ldots
Expliquei acima por que usamos esta fórmula: b_{1} representa quantas unidades, em média, y aumenta quando x aumenta uma unidade, segundo o ajuste linear dos mínimos quadrados.

Passo 7

Calculo b_{0} usando b_{0}=\bar{y}-b_{1}\bar{x}:
b_{0}=5,2-\frac{23}{148}\cdot 7,7.
Para ser exato, como 7,7=\tfrac{77}{10},
b_{1}\bar{x}=\frac{23}{148}\cdot\frac{77}{10}=\frac{1771}{1480},
portanto
b_{0}=\frac{7696}{1480}-\frac{1771}{1480}=\frac{5925}{1480}=\frac{1185}{296}\approx 4,003378\ldots

Passo 8

Escrevo a equação da reta ajustada (a “melhor reta” pelo critério dos mínimos quadrados):
\hat{y}=b_{0}+b_{1}x\approx 4,003378+\;0,155405\,x.

Passo 9

Calculo a variabilidade total ( \text{SST}) e a parte explicada ( \text{SSR}):
\text{SST}=\sum (y_{i}-\bar{y})^{2}=\sum y_{i}^{2}-n\bar{y}^{2}=143,5-5\cdot(5,2)^{2}=143,5-5\cdot 27,04=143,5-135,2=8,3.
\text{SSR}=b_{1}S_{xy}=\frac{23}{148}\cdot 2,3=\frac{(2,3)^{2}}{14,8}=\frac{5,29}{14,8}\approx 0,3575676.
(Usei \text{SSR}=b_{1}S_{xy}; também vale \text{SSR}=S_{xy}^{2}/S_{xx}, que dá o mesmo.)

Passo 10

Calculo D=R^{2}:
D=R^{2}=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}}=\frac{0,3575676}{8,3}\approx 0,04309\ldots
Interpretação curta: apenas cerca de 4{,}3\% da variabilidade em y é explicada pela reta ajustada — ou seja, o ajuste linear é fraco para esses pontos.

Resposta

b_{0}=\dfrac{1185}{296}\approx 4,003378
b_{1}=\dfrac{23}{148}\approx 0,155405
D=R^{2}\approx 0,04309

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