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Achar a solução exata
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Achar a solução exata
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
com condição inicial
A pergunta é: encontrar a solução exata
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver: trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que está escrita na forma
Aqui
e
são funções conhecidas de
. O método padrão é o do fator integrante. Vou explicar devagar como ele funciona. Considerando a forma geral
definimos o fator integrante
por
A razão de escolher essa
é que, multiplicando a equação original por
, o lado esquerdo vira a derivada do produto
. Mais precisamente, usando a regra do produto,
Se
(que é exatamente satisfeito por
), então
Assim a equação se reduz a uma igualdade entre derivada e função conhecida, que integrando nos dá
. É simples e muito útil — agora aplicamos ao caso concreto.
Passo 3
No nosso problema temos
e
. Calculamos o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Vamos calcular a integral com calma. Separe
Calcule
por integração por partes. Escolha
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
E sabemos que
. Assim
Portanto
Passo 5
Agora isolamos
dividindo por
:
onde
é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial. Aqui
é um número real que ajusta a solução geral para satisfazer a condição
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, temos
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
Se quiser, pode conferir derivando:
e substituindo em
dá
, ou seja, a equação é satisfeita e a condição inicial também.