Resolver todas às questões.
Achar a solução exata P V I: y^{\prime}+y=x+9 \operatorname{com} y(0)=4.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
y'(x)+y(x)=x+9
com condição inicial
y(0)=4.
A pergunta é: encontrar a solução exata y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver: trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que está escrita na forma
y'+p(x)y=q(x).
Aqui p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. O método padrão é o do fator integrante. Vou explicar devagar como ele funciona. Considerando a forma geral
y'+p(x)y=q(x),
definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int p(x)\,dx\bigg).
A razão de escolher essa \mu é que, multiplicando a equação original por \mu(x), o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(x)y(x). Mais precisamente, usando a regra do produto,
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Se \mu'=\mu p (que é exatamente satisfeito por \mu=\exp(\int p)), então
(\mu y)'=\mu(y'+py)=\mu q.
Assim a equação se reduz a uma igualdade entre derivada e função conhecida, que integrando nos dá \mu y=\int \mu q\,dx + C. É simples e muito útil — agora aplicamos ao caso concreto.

Passo 3

No nosso problema temos p(x)=1 e q(x)=x+9. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int 1\,dx\bigg)=\exp(x)=e^{x}.
Multiplicando a equação original por e^{x} obtemos
e^{x}y'+e^{x}y=e^{x}(x+9).
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y. Logo
\big(e^{x}y\big)'=e^{x}(x+9).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int e^{x}(x+9)\,dx + C.
Vamos calcular a integral com calma. Separe
\int e^{x}(x+9)\,dx=\int x e^{x}\,dx + 9\int e^{x}\,dx.
Calcule \int x e^{x}\,dx por integração por partes. Escolha u=x e dv=e^{x}\,dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
E sabemos que \int e^{x}\,dx = e^{x}. Assim
\int e^{x}(x+9)\,dx = \big(x e^{x} - e^{x}\big) + 9 e^{x} = x e^{x} + 8 e^{x}.
Portanto
e^{x}y = x e^{x} + 8 e^{x} + C.

Passo 5

Agora isolamos y dividindo por e^{x}:
y(x)=x+8+C e^{-x},
onde C é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial. Aqui C é um número real que ajusta a solução geral para satisfazer a condição y(0)=4.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=0+8+C e^{0}=8+C.
Como y(0)=4, temos
8+C=4 \quad\Rightarrow\quad C=4-8=-4.

Passo 7

Substituindo C=-4 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=x+8-4e^{-x}.
Se quiser, pode conferir derivando: y'(x)=1+4e^{-x} e substituindo em y'+y 1+4e^{-x}+x+8-4e^{-x}=x+9, ou seja, a equação é satisfeita e a condição inicial também.

Resposta

y(x)=x+8-4e^{-x}

Exercícios relacionados