Questão 3 ( 3,0 pontos) Utilize o método Gauss para resolver o seguinte sistema linear:
\begin{aligned} 10 x+2 y+z & =7 \\\ x+5 y+z & =-8 \\\\ 2 x+3 y+10 z & =6 \end{aligned}
Considere:
\mathbf{x}_{0}=\left(\begin{array}{c} 0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad \varepsilon=0,05

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo e nos dá também um vetor inicial e uma tolerância (vou listar tudo que veio no enunciado):
\begin{aligned} 10x + 2y + z &= 7,\\\ x + 5y + z &= -8,\\\\ 2x + 3y + 10z &= 6. \end{aligned}
Dados fornecidos:
\mathbf{x}_{0}=\begin{pmatrix}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \varepsilon=0,05.
A pergunta é: resolver esse sistema (usar o método indicado no enunciado).

Passo 2

O que vamos fazer (aula rápida e sem pressa): a ideia do método de eliminação de Gauss é transformar a matriz aumentada do sistema numa matriz triangular superior usando operações elementares sobre linhas. Isso facilita bastante porque, quando a matriz fica triangular superior, resolvemos as incógnitas por substituição regressiva (back substitution).
Relembrando a forma da matriz aumentada: escrevemos os coeficientes e o termo independente numa linha por equação. Para o nosso sistema a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 10 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 5 & 1 & -8\\[4pt] 2 & 3 & 10 & 6 \end{array}\right].
Cada passo de eliminação usa um multiplicador m calculado por
m=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
onde a_{ik} é o elemento que queremos zerar (linha i, coluna k) e a_{kk} é o pivô (elemento da linha do pivô na mesma coluna). Depois fazemos L_i \leftarrow L_i - m\,L_k.]

Passo 3

Primeira coluna: vamos zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=10.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{10}=0,1,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{10}=0,2.
Aplicando as operações:
  • Linha 2: L_2 \leftarrow L_2 - 0,1\,L_1.
    Cálculo elemento a elemento:
    \begin{aligned} a_{22}'&=5-0,1\cdot 2=5-0,2=4,8,\\\ a_{23}'&=1-0,1\cdot 1=1-0,1=0,9,\\\ b_2'&=-8-0,1\cdot 7=-8-0,7=-8,7. \end{aligned}
    (o primeiro elemento da linha 2 vira zero por construção).
  • Linha 3: L_3 \leftarrow L_3 - 0,2\,L_1.
    \begin{aligned} a_{32}'&=3-0,2\cdot 2=3-0,4=2,6,\\\ a_{33}'&=10-0,2\cdot 1=10-0,2=9,8,\\\ b_3'&=6-0,2\cdot 7=6-1,4=4,6. \end{aligned}
A matriz aumentada após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 10 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 4,8 & 0,9 & -8,7\\[4pt] 0 & 2,6 & 9,8 & 4,6 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o pivô da segunda etapa é a_{22}'=4,8. Vamos zerar o elemento abaixo dele a_{32}'=2,6.
O multiplicador é
m_{32}=\frac{a_{32}'}{a_{22}'}=\frac{2,6}{4,8}=\frac{26}{48}=\frac{13}{24}\approx 0,541666\ldots
Aplicamos L_3 \leftarrow L_3 - m_{32}\,L_2. Calculamos cada componente nova da linha 3:
Para a_{33}'':
a_{33}''=9,8 - \frac{13}{24}\cdot 0,9.
Calculando \frac{13}{24}\cdot 0,9=\frac{13\cdot 0,9}{24}=\frac{11,7}{24}=0,4875. Então
a_{33}''=9,8-0,4875=9,3125.
Para b_3'':
b_3''=4,6 - \frac{13}{24}\cdot(-8,7).
Calculando \frac{13}{24}\cdot(-8,7)=-\frac{13\cdot 8,7}{24}=-\frac{113,1}{24}=-4,7125. Assim
b_3''=4,6-(-4,7125)=4,6+4,7125=9,3125.
Portanto a terceira linha após eliminação fica
\bigl[\,0\;\;0\;\;9,3125\;\mid\;9,3125\,\bigr].
A matriz triangular superior é então
\left[\begin{array}{ccc|c} 10 & 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 4,8 & 0,9 & -8,7\\[4pt] 0 & 0 & 9,3125 & 9,3125 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora fazemos substituição regressiva (back substitution). A terceira linha representa a equação
9,3125\,z = 9,3125.
Dividindo ambos os lados por 9,3125 obtemos
z=1.

Passo 6

Voltamos à segunda equação (segunda linha triangular):
4,8\,y + 0,9\,z = -8,7.
Já temos z=1, então
4,8\,y + 0,9\cdot 1 = -8,7.
Isso dá
4,8\,y = -8,7 - 0,9 = -9,6,
portanto
y=\frac{-9,6}{4,8}=-2.

Passo 7

Finalmente, substituímos y e z na primeira equação:
10\,x + 2\,y + z = 7.
Colocando y=-2 e z=1:
10\,x + 2\cdot(-2) + 1 = 7 \quad\Rightarrow\quad 10\,x -4 +1 =7.
Assim
10\,x -3 =7 \quad\Rightarrow\quad 10\,x =10 \quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 8

Verificação rápida (substituir a solução em todas as equações):
  • Primeira: 10\cdot 1 + 2\cdot(-2) + 1 = 10 -4 +1 =7
  • Segunda: 1 + 5\cdot(-2) + 1 = 1 -10 +1 = -8
  • Terceira: 2\cdot 1 + 3\cdot(-2) + 10\cdot 1 = 2 -6 +10 =6
Tudo bate certinho.
Observação sobre \mathbf{x}_0 e \varepsilon: esses dados (o vetor inicial e a tolerância) são usados em métodos iterativos (como Gauss–Seidel ou Jacobi). No método de eliminação de Gauss que aplicamos não precisamos deles; por isso não os utilizamos.

Resposta

x=1
y=-2
z=1

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