(… pontos) Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:
(a) ( ) A matriz \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3 \\\\ -4 & -5 & -6 \\\\ 6 & 4 & 10\end{array}\right] tem fatoração L U como L=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
(b) ( ) O sistema \left\{\begin{aligned} 8 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =4 \\\ x_{1}+-3 x_{2}+x_{3} & =1 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =0\end{aligned}\right. satisfaz o critério das linhas.
(c) ( ) As funções f(x)=e^{x}\left(x^{2}-3 x+2\right)+2 e g(x)=x^{2}-3 x+4 interpolam os pontos (0,4),(1,2),(2,2)
(d) ( ) O polinômio L_{1}(x) da forma de Lagrange considerando os pontos (-1,1),(2,2) e (3,4) é L_{1}(x)=\frac{-x^{2}+2 x+3}{3}.
(e) ( ) Existe uma única função polinomial de grau menor ou igual a 2 que passa pelos pontos (-2,0) e (0,-4).
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cinco afirmações. Aqui estão, exatamente, as informações fornecidas para cada item:
e a afirmação de que ambas interpolam os pontos ((0,4),,(1,2),,(2,2)].
(d) Pontos (-1,1),(2,2),(3,4) e a afirmação de que o polinômio de Lagrange \;L_{1}(x) (o polinômio base associado ao primeiro ponto) é
L_{1}(x)=\frac{-x^{2}+2x+3}{3}.
(e) Os pontos (-2,0) e (0,-4) e a afirmação de que existe uma única função polinomial de grau menor ou igual a 2 que passa por esses dois pontos.
A seguir eu verifico cada afirmação passo a passo, explicando as ferramentas usadas.]
Passo 2
(a) Verificação da fatoração \;A = LU.
Primeiro, lembrando rapidamente: multiplicar matrizes significa que o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos da linha i da primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda. Vou calcular LU entrada a entrada.
Terceira linha de LU é (6,4,10), igual à terceira linha de A.
Como todas as linhas conferem, LU=A. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Comentário didático rápido: fatoração LU consiste em escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com uns na diagonal, normalmente) e uma triangular superior U. Aqui a multiplicação confirma que a fatoração proposta está correta.
Passo 3
(b) Verificação do “critério das linhas” (dominância diagonal por linhas) para o sistema
O critério das linhas que costuma ser usado para garantir convergência de métodos iterativos (Jacobi/Gauss–Seidel) exige, na forma mais forte, que para cada linha i da matriz dos coeficientes A=(a_{ij}) tenhamos
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.
Isso é chamada de dominância diagonal estrita por linhas. Vou extrair a matriz dos coeficientes do sistema:
Calculo a soma dos módulos dos termos fora da diagonal em cada linha:
Linha 1: |a_{11}|=|8|=8. Soma dos outros módulos: |1|+|-1|=1+1=2. Comparação: 8>2 — satisfaz.
Linha 2: |a_{22}|=|-3|=3. Soma: |1|+|1|=1+1=2. Comparação: 3>2 — satisfaz.
Linha 3: |a_{33}|=|3|=3. Soma: |2|+|-1|=2+1=3. Comparação: 3>3 — isto NÃO é estritamente maior, é igual.
Portanto a terceira linha não satisfaz a desigualdade estrita; tem dominância fraca (igualdade). Como o “critério das linhas” geralmente se refere à dominância diagonal estrita para garantir convergência, a afirmação de que o sistema “satisfaz o critério das linhas” é falsa.
Observação didática: se o enunciado aceitasse dominância não estrita (\ge), diríamos que há dominância fraca; mas a forma usual do “critério” exige estrita, então o item é Falso.]
Passo 4
(c) Verificação se f(x) e g(x) interpolam os pontos (0,4),(1,2),(2,2).
Primeiro avalio g(x)=x^{2}-3x+4:
Em x=0: g(0)=0-0+4=4. Corresponde a (0,4).
Em x=1: g(1)=1-3+4=2. Corresponde a (1,2).
Em x=2: g(2)=4-6+4=2. Corresponde a (2,2).
Logo g interpola os três pontos.
Agora f(x)=e^{x}\big(x^{2}-3x+2\big)+2. Note que o polinômio \;x^{2}-3x+2 se fatoriza:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
ou seja, é zero em x=1 e x=2. Vou avaliar f nos pontos:
Em x=0: f(0)=e^{0}\big(0^{2}-3\cdot 0+2\big)+2 = 1\cdot 2 + 2 = 4. OK.
Em x=1: como x^{2}-3x+2=0 em x=1, temos f(1)=e^{1}\cdot 0 + 2 = 2. OK.
Em x=2: idem, x^{2}-3x+2=0 em x=2, então f(2)=e^{2}\cdot 0 + 2 = 2. OK.
Portanto ambas as funções f e g assumem os valores indicados nos três pontos — a afirmação (c) é verdadeira.
Breve ensino: para verificar interpolação basta avaliar as funções nos x dados e comparar com os y. No caso de f deu jeito porque o fator polinomial zera em x=1,2, anulando o termo com e^{x}.
Passo 5
(d) Cálculo do polinômio de Lagrange L_{1}(x) para os pontos (-1,1),(2,2),(3,4) e comparação com a expressão dada.
Definição (forma básica): o polinômio de Lagrange base associado ao primeiro nó x_{1} em um conjunto \{x_{1},x_{2},x_{3}\} é
mas isso contradiz a obrigação L_{1}(-1)=1. Logo a expressão proposta está errada. Conclusão: a afirmação (d) é falsa.
Passo 6
(e) Existência e unicidade de um polinômio de grau \le 2 que passa por (-2,0) e (0,-4).
Explico intuitivamente: um polinômio geral de grau \le 2 tem três parâmetros (coeficientes). Dois pontos fornecem duas equações, portanto sobra um grau de liberdade — existem infinitas parábolas que passam por dois pontos distintos. Vou mostrar algebricamente.
Considere o polinômio genérico
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c reais (grau \le 2). Impondo p(-2)=0 e p(0)=-4 obtemos:
Em x=-2: 4a -2b + c = 0.
Em x=0: c = -4.
Substituindo c=-4 na primeira equação:
4a -2b -4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a - b - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 2a - 2.
Portanto os coeficientes são
c=-4,\qquad b=2a-2,
com a livre (qualquer valor real). Cada escolha de a produz um polinômio distinto que satisfaz as duas condições. Exemplo: se a=0 temos b=-2,\\ c=-4 e p(x)=-2x-4; se a=1 temos b=0,\\ c=-4 e p(x)=x^{2}-4; ambos passam por (-2,0) e (0,-4).
Logo NÃO existe uma única função polinomial de grau \le 2 que passe por esses dois pontos — existem infinitas. A afirmação (e) é falsa.