Com respeito à base C de R^3, o endomorfismo T: R^3 R^3 tem matriz
[T]C^C=(ccc 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 )
(2) Existe uma base de R^3 com respeito a qual a matriz de T é
(ccc 2 & 2 & 0 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 ) ?

Passo 1

O enunciado dá o endomorfismo T:R^3toR^3 cuja matriz em relação à base C é
M=[T]C^C= 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
e pergunta se existe uma base em que a matriz de T seja
N= 2 & 2 & 0 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0
Isso é equivalente a perguntar se M e N são semelhantes, ou seja, se existe inversível P tal que P^-1MP=N. Para verificar similaridade basta comparar polinômios característicos (e, se necessário, polinômios mínimos) de M e N.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de M:
chiM(lambda)=detl(M-lambda Ir) = 1-lambda & 2 & 3 0 & 1-lambda & 1 1 & 1 & 1-lambda
Expandindo, obtemos
chiM(lambda) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-1r) -2l(0cdot(1-lambda)-1cdot1r) +3l(0cdot1-(1-lambda)cdot1r),
que simplifica para
chiM(lambda)=lambda^3-3lambda^2-lambda+1

Passo 3

Agora o polinômio característico de N:
chiN(lambda)=detl(N-lambda Ir) = 2-lambda & 2 & 0 1 & 1-lambda & -1 0 & 1 & -lambda
Fazendo a expansão,
chiN(lambda) =(2-lambda)l((1-lambda)(-lambda)-(-1)cdot1r) -2l(1cdot(-lambda)-(-1)cdot0r),
chegamos a
chiN(lambda)=lambda^3-3lambda^2+lambda-2

Passo 4

Como
chiM(lambda)=lambda^3-3lambda^2-lambda+1 e chiN(lambda)=lambda^3-3lambda^2+lambda-2,
vemos que chiMneqchiN. Logo M e N não são semelhantes, e não existe base em que T tenha matriz N.

Resposta

Não existe.

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