A respeito de um triângulo A B C, sabe-se que:
  • M(1,-32) é ponto médio de B C.
  • dA B=9
  • dA C=12
  • C(1, 6)
    Determine as coordenadas de A, sabendo que elas são números reais negativos.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC onde M(1,−3/2) é o ponto médio de BC, d_{AB}=9, d_{AC}=12 e C(1,6). Precisamos achar A(x,y) com x<0 e y<0 usando coordenadas.

Passo 2

Usando o ponto médio M, temos as médias das coordenadas de B e C:
xB+12=1 e yB+62=-32
Daí x_B+1=2 ⇒ x_B=1 e y_B+6=−3 ⇒ y_B=−9. Logo B(1,−9).

Passo 3

Para A(x,y) montamos as equações das distâncias:
(x-1)^2+(y+9)^2=9^2=81
(x-1)^2+(y-6)^2=12^2=144

Passo 4

Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (x−1)^2:
(y-6)^2-(y+9)^2=144-81=63
Expandindo:
y^2-12y+36-(y^2+18y+81)=-30y-45=63
Logo -30y=108 ⇒ y=-\tfrac{18}{5}.

Passo 5

Substituindo y na primeira equação:
(x-1)^2+igl(-tfrac185+9r)^2=(x-1)^2+(tfrac27-185)^2=(x-1)^2+(tfrac95)^2? 
Corrigindo: -18/5+9= ( -18+45 )/5=27/5, então:
(x-1)^2+(tfrac275)^2=(x-1)^2+tfrac72925=81
Assim:
(x-1)^2=81-tfrac72925=tfrac2025-72925=tfrac129625=(tfrac365)^2
Portanto x-1=±\tfrac{36}{5}. Como queremos x<0, escolhemos x-1=-\tfrac{36}{5}, logo x=1-\tfrac{36}{5}=-\tfrac{31}{5}.

Resposta

A\bigl(-\tfrac{31}{5},-\tfrac{18}{5}\bigr)

Exercícios relacionados