Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
integral0^+infty e^-s t sen(a t) d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty e^-s t,sin(a t),dt
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de integrais impróprias de função oscilante multiplicada por função monotônica. Vamos usar o teste de Dirichlet para integrais impróprias: se
  1. F(x)=integral0^xf(t),dt é limitada para todo x, e
  2. g(t) é monotônica decrescente com limtto+inftyg(t)=0,
    então integral0^inftyf(t),g(t),dt converge.

Passo 2

Considere primeiro o caso s>0. Defina
f(t)=sin(a t), g(t)=e^-s t
  1. A primitiva de f é
F(x)=integral0^xsin(a t),dt =1al(1-cos(a x)r),
que satisfaz l|F(x)r|<= tfrac2|a| para todo x. Logo F é limitada.
2. A função g(t)=e^-s t é positiva, monotônica decrescente e limttoinftye^-s t=0.
Pelo teste de Dirichlet, a integral
integral0^inftye^-s tsin(a t),dt
converge sempre que s>0.

Passo 3

Agora veja o caso s=0. A integral fica
integral0^inftysin(a t),dt =limMtoinftyl[-tfrac1acos(a t)r]0^M =1al(1-cos(a M)r)
Como cos(a M) não tem limite quando Mtoinfty (oscila entre -1 e 1), essa integral não converge.

Passo 4

Por fim, se s<0, então e^-s t=e^|s|t cresce exponencialmente. O produto e^|s|tsin(a t) não satisfaz as condições de nenhum teste que garanta convergência (além disso, em módulo cresce sem limite), logo a integral também diverge.

Resposta

A integral
integral0^+inftye^-s t,sin(a t),dt
converge se e somente se s>0, e diverge para s<=0.

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