Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de integrais impróprias de função oscilante multiplicada por função monotônica. Vamos usar o teste de Dirichlet para integrais impróprias: se
é limitada para todo , e
é monotônica decrescente com ,
então converge.
Passo 2
Considere primeiro o caso . Defina
A primitiva de é
que satisfaz para todo x. Logo F é limitada.
2. A função g(t)=e^-s t é positiva, monotônica decrescente e limttoinftye^-s t=0.
Como cos(a M) não tem limite quando Mtoinfty (oscila entre -1 e 1), essa integral não converge.
Passo 4
Por fim, se s<0, então e^-s t=e^|s|t cresce exponencialmente. O produto e^|s|tsin(a t) não satisfaz as condições de nenhum teste que garanta convergência (além disso, em módulo cresce sem limite), logo a integral também diverge.