Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
integral0^+infty e^-s t cos (a t) d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty e^-s tcos(a t),dt
O conteúdo aqui é análise de convergência no infinito, que podemos fazer usando integração por partes (ou o teste de Dirichlet) e comparar também com a transformada de Laplace de cos(at). Precisamos verificar o comportamento em tto0 e em tto+infty.

Passo 2

Verificação em t=0:
No entorno de t=0, temos
e^-s tcos(a t);xrightarrow[tto0];1,
logo a função é contínua em 0 e integrável num intervalo [0,de<a]. Não há problema de convergência na parte inferior.

Passo 3

Verificação em tto+infty:
Considere a integral truncada
F(B)=integral0^B e^-s tcos(a t),dt
Fazendo integração por partes com
u=cos(a t), dv=e^-s tdt
du=-asin(a t),dt, v=-1se^-s t,
obtemos
F(B) =-e^-s tscos(a t)|0^B +asintegral0^Be^-s tsin(a t),dt
O termo de contorno em t=B é
-e^-s Bscos(a B),xrightarrow[Btoinfty],0
desde que Re(s)>0. O termo em t=0 tfrac1s. O segundo integral também converge por argumento análogo (ou por sabermos que a transformada de Laplace de sin(at) existe para Re(s)>0). Logo limBtoinftyF(B) existe e é finito se, e somente se, Re(s)>0.

Passo 4

Caso Re(s)<=0:
  • Se s=0 a integral vira integral0^inftycos(a t),dt, que não tem limite quando ttoinfty e diverge por oscilar sem decaimento.
  • Se Re(s)<0, então e^-s t=e^|s|t cresce exponencialmente, o integrando não tende a zero e a integral diverge.

Resposta

A integral converge se, e somente se, Re(s)>0 (no caso real, boxeds>0). Caso contrário, diverge.

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