Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
O conteúdo aqui é análise de convergência no infinito, que podemos fazer usando integração por partes (ou o teste de Dirichlet) e comparar também com a transformada de Laplace de . Precisamos verificar o comportamento em e em .
Passo 2
Verificação em :
No entorno de , temos
logo a função é contínua em 0 e integrável num intervalo [0,de<a]. Não há problema de convergência na parte inferior.
Passo 3
Verificação em tto+infty:
Considere a integral truncada
desde que Re(s)>0. O termo em t=0 dá tfrac1s. O segundo integral também converge por argumento análogo (ou por sabermos que a transformada de Laplace de sin(at) existe para Re(s)>0). Logo limBtoinftyF(B) existe e é finito se, e somente se, Re(s)>0.
Passo 4
Caso Re(s)<=0:
Se s=0 a integral vira integral0^inftycos(a t),dt, que não tem limite quando ttoinfty e diverge por oscilar sem decaimento.
Se Re(s)<0, então e^-s t=e^|s|t cresce exponencialmente, o integrando não tende a zero e a integral diverge.
Resposta
A integral converge se, e somente se, Re(s)>0 (no caso real, boxeds>0). Caso contrário, diverge.