Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
a_{n}=\ln \sqrt{n^{3}-n^{2}};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \ln \sqrt{n^{3}-n^{2}},
e pede que a gente:
  1. Escreva o termo de ordem n (já dado, mas podemos simplificar usando propriedades de logaritmo).
  2. Escreva o termo de ordem n+1.
  3. Verifique se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Para isso precisaremos das propriedades
\sqrt{A} = A^{1/2} \quad\text{e}\quad \ln(A^{\alpha}) = \alpha\,\ln A.

Passo 2

Vamos simplificar a_{n}. Primeiro
\sqrt{n^{3}-n^{2}} = \sqrt{n^{2}(n-1)} = n\,\sqrt{\,n-1\,}.
Logo
a_{n} = \ln\bigl(n\,\sqrt{\,n-1\,}\bigr) = \ln n + \ln\bigl((n-1)^{1/2}\bigr) = \ln n + \tfrac12\,\ln(n-1).

Passo 3

O termo de ordem n+1 é
a_{n+1} = \ln \sqrt{(n+1)^{3} - (n+1)^{2}} = \ln\bigl((n+1)\,\sqrt{n}\bigr) = \ln(n+1) + \tfrac12\,\ln n.

Passo 4

Para ver se a sequência converge, analisamos o comportamento de
a_{n} = \ln n + \tfrac12\,\ln(n-1).
Para n grande, \ln(n-1)\sim\ln n, então
a_{n}\sim \ln n + \tfrac12\,\ln n = \tfrac32\,\ln n.
Como \ln n \to +\infty quando n\to\infty, segue que
a_{n}\to +\infty.
Portanto a sequência diverge (não converge para um valor finito).

Resposta

O termo simplificado é
a_{n} = \ln n + \tfrac12\,\ln(n-1),
e o próximo termo é
a_{n+1} = \ln(n+1) + \tfrac12\,\ln n.
A sequência diverge a +\infty, logo não tem limite finito.

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