Verifique se são convergentes:
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{\ln n}.
O conteúdo é séries de termos positivos; vamos usar o teste da divergência (condição necessária): se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \frac{n}{\ln n}.
Calculamos o limite de a_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{\ln n}{n}}.
Como \ln n cresce muito mais devagar que n, temos \frac{\ln n}{n}\to0. Logo,
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n} = \frac{1}{0} = +\infty \neq 0.

Passo 3

Pela condição necessária de convergência, como a_n não tende a zero, concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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